Classifique e, se for compatível, resolva o sistema linear:
\left\{\begin{array}{c}2 x+3 y+z=8 \\\\ 4 x+7 y+5 z=20 \\\\ -2 y+2 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 2x+3y+z=8\\[4pt] 4x+7y+5z=20\\[4pt] -2y+2z=0 \end{cases}
O que se pede:
  1. classificar o sistema (se é compatível ou incompatível; se compatível, se tem solução única ou infinitas soluções),\n2) e, se for compatível, encontrar a(s) solução(ões).\n\nInformações relevantes dadas: as três equações acima e as incógnitas x, y e z.]

Passo 2

Método escolhido e por quê (breve): vou usar eliminação gaussiana (operações elementares entre linhas) porque é um método direto para transformar o sistema numa forma triangular, permitindo resolver passo a passo por substituição. Operações elementares válidas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por número não nulo, somar a múltipla de uma linha a outra — essas operações não mudam o conjunto de soluções.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos independentes):
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 8\\[4pt] 4 & 7 & 5 & 20\\[4pt] 0 & -2 & 2 & 0 \end{array}\right]
Aqui cada linha corresponde a uma equação; as colunas, respectivamente, aos coeficientes de x, y, z e a coluna da direita aos termos constantes.]

Passo 4

Eliminação do x na segunda linha: faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Calculo componente a componente:
R_2: (4,\,7,\,5 \mid 20) - 2\cdot(2,\,3,\,1 \mid 8) = (4-4,\,7-6,\,5-2 \mid 20-16) = (0,\,1,\,3 \mid 4).
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 8\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 4\\[4pt] 0 & -2 & 2 & 0 \end{array}\right].
Expliquei: escolhi eliminar x da segunda linha usando um múltiplo da primeira, porque o coeficiente de x na primeira linha é 2 e na segunda é 4; subtraindo 2 vezes a primeira conseguimos zerar o x da segunda.]

Passo 5

Agora elimino y das outras linhas usando a nova R_2 (que tem coeficiente 1 em y, o que facilita). Faço primeiro R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2. Cálculo:
R_1: (2,\,3,\,1 \mid 8) - 3\cdot(0,\,1,\,3 \mid 4) = (2,\,0,\,1-9 \mid 8-12) = (2,\,0,\,-8 \mid -4).
Faço também R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2 para zerar o -2 em y:
R_3: (0,\,-2,\,2 \mid 0) + 2\cdot(0,\,1,\,3 \mid 4) = (0,\,0,\,2+6 \mid 0+8) = (0,\,0,\,8 \mid 8).
A matriz triangular resultante é
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & -8 & -4\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}\right].]

Passo 6

Interpretação da forma triangular e resolução por substituição (back-substitution). A terceira linha corresponde à equação
8z=8.
Logo
z=1.
A segunda linha corresponde a
y+3z=4.
Substituindo z=1,
y+3\cdot 1=4 \quad\Rightarrow\quad y=1.
A primeira linha corresponde a
2x-8z=-4.
Substituindo z=1,
2x-8\cdot 1=-4 \quad\Rightarrow\quad 2x-8=-4 \quad\Rightarrow\quad 2x=4 \quad\Rightarrow\quad x=2.

Passo 7

Classificação do sistema com base no resultado: durante a eliminação obtivemos três linhas não nulas (três pivôs): os pivôs nas colunas de x, y e z indicam que a matriz dos coeficientes tem posto 3. A matriz aumentada também tem posto 3. Como o posto é igual ao número de incógnitas ( 3), o sistema é compatível e determinado (ou seja, tem solução única). Em outras palavras, rank(coeficientes)=rank(aumentada)=3 e coincidem com o número de incógnitas.

Resposta

Sistema compatível determinado.
Solução: x=2,\;y=1,\;z=1

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