Parametrize o paralelogramo de vértices: \overrightarrow{0}, \vec{u}, \vec{v}, \vec{u}+\vec{v}, onde
\vec{u}=(1,2), \quad \vec{v}=(3,7) .

Passo 1

O enunciado pede: parametrizar o paralelogramo de vértices \overrightarrow{0}, \vec{u}, \vec{v}, \vec{u}+\vec{v} onde foram dadas as informações:
\vec{u}=(1,2),\qquad \vec{v}=(3,7).
Ou seja, preciso escrever uma função vetorial \vec{r}(s,t) que, para valores apropriados dos parâmetros s e t, descreva todos os pontos do paralelogramo com esses quatro vértices.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): um paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v} é exatamente a imagem do quadrado unitário [0,1]\times[0,1] pelo mapa linear que leva o par (s,t) na combinação linear s\vec{u}+t\vec{v}. Por que isso funciona? Pense assim: quando s e t variam entre 0 e 1, a combinação
s\vec{u}+t\vec{v}
pega todos os pontos que começam em \overrightarrow{0} (quando s=t=0) e se deslocam numa direção proporcional a \vec{u} e \vec{v}. Os quatro cantos do quadrado (s,t)=(0,0),(1,0),(0,1),(1,1) vão corresponder exatamente aos quatro vértices do paralelogramo. Isso é o que queremos: cobrir o interior e as arestas do paralelogramo sem repetições desnecessárias.

Passo 3

Aplicando a fórmula \vec{r}(s,t)=s\vec{u}+t\vec{v} com as coordenadas dadas, primeiro escrevemos a forma vetorial:
\vec{r}(s,t)=s(1,2)+t(3,7).

Passo 4

Agora calculamos componente a componente (devagar, passo a passo):
  • A primeira componente é s\cdot 1 + t\cdot 3. Em TeX:
\text{1ª componente: } s\cdot 1 + t\cdot 3 = s + 3t.ª
  • A segunda componente é s\cdot 2 + t\cdot 7. Em TeX:
\text{2ª componente: } s\cdot 2 + t\cdot 7 = 2s + 7t.ª
Portanto, em coordenadas:
\vec{r}(s,t)=(s+3t,\;2s+7t).

Passo 5

Precisamos especificar o domínio dos parâmetros para que a imagem seja exatamente o paralelogramo desejado. Como explicado no Passo 2, basta tomar
0\le s\le 1,\qquad 0\le t\le 1.
Vamos checar os vértices para ter certeza (verificação rápida):
\vec{r}(0,0)=(0,0)=\overrightarrow{0},
\vec{r}(1,0)=(1,2)=\vec{u},
\vec{r}(0,1)=(3,7)=\vec{v},
\vec{r}(1,1)=(1+3,\;2+7)=(4,9)=\vec{u}+\vec{v}.
Tudo bate: os quatro cantos do quadrado paramétrico dão os quatro vértices do paralelogramo, e valores intermediários de s e t percorrem as arestas e o interior.

Resposta

\vec{r}(s,t)=(s+3t,\;2s+7t),\quad 0\le s\le 1,\;0\le t\le 1

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