Parametrize o paralelogramo de vértices:
, onde
Passo 1
O enunciado pede: parametrizar o paralelogramo de vértices
onde foram dadas as informações:
Ou seja, preciso escrever uma função vetorial
que, para valores apropriados dos parâmetros
e
, descreva todos os pontos do paralelogramo com esses quatro vértices.
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): um paralelogramo gerado por
e
é exatamente a imagem do quadrado unitário
pelo mapa linear que leva o par
na combinação linear
. Por que isso funciona? Pense assim: quando
e
variam entre
e
, a combinação
pega todos os pontos que começam em
(quando
) e se deslocam numa direção proporcional a
e
. Os quatro cantos do quadrado
vão corresponder exatamente aos quatro vértices do paralelogramo. Isso é o que queremos: cobrir o interior e as arestas do paralelogramo sem repetições desnecessárias.
Passo 3
Aplicando a fórmula
com as coordenadas dadas, primeiro escrevemos a forma vetorial:
Passo 4
Agora calculamos componente a componente (devagar, passo a passo):
- A primeira componente é
. Em TeX:
- A segunda componente é
. Em TeX:
Portanto, em coordenadas:
Passo 5
Precisamos especificar o domínio dos parâmetros para que a imagem seja exatamente o paralelogramo desejado. Como explicado no Passo 2, basta tomar
Vamos checar os vértices para ter certeza (verificação rápida):
Tudo bate: os quatro cantos do quadrado paramétrico dão os quatro vértices do paralelogramo, e valores intermediários de
e
percorrem as arestas e o interior.