Classifique e, se for compatível, resolva o sistema linear:
\left\{\begin{array}{l}x-2 y=1 \\\\ 3 x-6 y=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que a gente classifique o sistema linear e, se for compatível, resolva-o. O sistema dado é:
\begin{cases} x-2y=1,\\[4pt] 3x-6y=3. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • As duas equações lineares estão explícitas acima.
  • Precisamos dizer se o sistema é: compatível determinado (uma única solução), compatível indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (nenhuma solução).
  • Caso seja compatível, devemos encontrar todas as soluções (a solução geral).]

Passo 2

Vamos escolher um método simples e confiável para sistemas 2\times2: verificar primeiro se o determinante da matriz dos coeficientes é zero ou não (isso diz se a matriz é invertível). Se o determinante for diferente de zero, há solução única. Se for zero, as equações podem ser dependentes (infinitas soluções) ou contraditórias (nenhuma solução); aí precisamos comparar as equações (ver se uma é múltiplo da outra ou não). Vou aplicar esse raciocínio passo a passo.

Passo 3

Escrevendo a matriz dos coeficientes A e calculando o determinante:
A=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]3 & -6\end{pmatrix}.
Para uma matriz 2\times2 a fórmula do determinante é \det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}. Aqui a_{11}=1, a_{12}=-2, a_{21}=3, a_{22}=-6. Então
\det(A)=1\cdot(-6)-(-2)\cdot 3=-6-(-6)=-6+6=0.
Interpretação: \det(A)=0 significa que a matriz dos coeficientes não é invertível, logo não há solução única. Precisamos distinguir entre compatível indeterminado (infinitas soluções) e incompatível (nenhuma).]

Passo 4

Para distinguir os casos, compare as equações entre si. Se uma equação for múltiplo escalar exato da outra (incluindo o termo independente), então elas representam a mesma reta e o sistema tem infinitas soluções; se os coeficientes forem múltiplos mas os termos independentes não seguirem o mesmo múltiplo, então há contradição (retas paralelas distintas) e o sistema é impossível.
Multiplicando a primeira equação por 3:
3(x-2y)=3\cdot 1 \quad\Longrightarrow\quad 3x-6y=3.
A segunda equação do sistema é exatamente \;3x-6y=3\;. Portanto a segunda equação é o mesmo que 3 vezes a primeira equação — isto é, as duas equações são dependentes e não há contradição.
Conclusão nesta etapa: as duas equações representam a mesma reta; o sistema é compatível indeterminado (tem infinitas soluções).

Passo 5

Agora vamos encontrar a solução geral. Como as duas equações são a mesma informação, basta resolver uma delas em função de um parâmetro. Pegamos a primeira equação:
x-2y=1.
Isolando x em função de y:
x=1+2y.
Introduzimos um parâmetro para y. Seja \;t\in\mathbb{R}\; e defina y=t. Então
x=1+2t,\qquad y=t,\quad t\in\mathbb{R}.
Essa é a forma paramétrica da solução. Podemos também escrever em forma de conjunto:
S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x=1+2t,\;y=t,\;t\in\mathbb{R}\}.
Ou em forma vetorial (mais compacto):
(x,y)=(1,0)+t(2,1),\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 6

Resumo didático final (para a prova): quando o determinante da matriz dos coeficientes \det(A)=0, não existe solução única; então verifique se os vetores coluna dos coeficientes são múltiplos (ou, equivalentemente, se uma equação é múltiplo da outra). Se os termos independentes seguirem o mesmo múltiplo, o sistema é compatível indeterminado; caso contrário, é impossível. Aqui a segunda equação é 3 vezes a primeira (inclusive o termo independente), logo o sistema tem infinitas soluções dadas por x=1+2t,\;y=t.

Resposta

Compatível indeterminado (infinitas soluções).
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x=1+2t,\;y=t,\;t\in\mathbb{R}\}

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