Determinar a representação matricial de cada um dos seguintes operadores do \mathbb{R}^{2} em relação às bases indicadas:
(b) F(x, y)=(x-y, x+2 y) e base B=\{(1,1),(1,0)\}

Passo 1

O enunciado pede a representação matricial do operador linear F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dado por
F(x,y)=(x-y,\;x+2y)
em relação à base B=\{(1,1),\;(1,0)\}.
Informações relevantes fornecidas:
F(x,y)=(x-y,\;x+2y), \qquad B=\{b_1=(1,1),\;b_2=(1,0)\}.
A tarefa é encontrar a matriz [F]_B tal que, para todo vetor v\in\mathbb{R}^2, as coordenadas de F(v) na base B são obtidas multiplicando [F]_B pelas coordenadas de v na base B.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método que vamos aplicar): para achar a matriz de um operador linear numa base B, calculamos as imagens dos vetores da base b_1,b_2 por F e escrevemos cada imagem como combinação linear dos vetores da própria base B. As coordenadas obtidas (os coeficientes dessas combinações) formam as colunas da matriz [F]_B: a primeira coluna é as coordenadas de F(b_1) em B, a segunda coluna é as coordenadas de F(b_2) em B. Isso funciona porque F é linear e qualquer vetor é combinação dos vetores da base.

Passo 3

Calcular F(b_1) com b_1=(1,1). Substituindo em F(x,y):
F(1,1)=(1-1,\;1+2\cdot 1)=(0,\;3).

Passo 4

Expressar F(b_1)=(0,3)\) como combinação linear de \(b_1\) e \(b_2\). Procuramos escalares \(a\) e \(b\) tais que \[(0,3)=a\,(1,1)+b\,(1,0).
Escrevendo as componentes:
\begin{cases} \text{coordenada }x:\quad 0 = a + b,\\[4pt] \text{coordenada }y:\quad 3 = a. \end{cases}
Da segunda equação vem a=3\]. Substituindo na primeira, \(0=3+b b=-3. Logo as coordenadas de F(b_1) na base B são
[F(b_1)]_B = \begin{pmatrix}3\\[4pt]-3\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular F(b_2) com b_2=(1,0). Substituindo:
F(1,0)=(1-0,\;1+2\cdot 0)=(1,\;1).

Passo 6

Expressar F(b_2)=(1,1)\) como combinação de \(b_1\) e \(b_2\). Procuramos \(c,d\) tais que \[(1,1)=c\,(1,1)+d\,(1,0).
Das componentes:
\begin{cases} 1 = c + d,\\[4pt] 1 = c. \end{cases}
Da segunda equação c=1\]. Então \(1 = 1 + d d=0. Assim as coordenadas de F(b_2) na base B são
[F(b_2)]_B = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 7

Montar a matriz de F na base B: as colunas são as coordenadas de F(b_1) e F(b_2), respectivamente. Portanto
[F]_B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\[4pt] -3 & 0 \end{pmatrix}.
Breve verificação (opcional, para te deixar mais confiante): o vetor b_1 tem coordenadas \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} em B. Multiplicando a matriz por esse vetor obtemos a primeira coluna \begin{pmatrix}3\\\ -3\end{pmatrix}, que são justamente as coordenadas de F(b_1) em B; convertendo de volta ao padrão \mathbb{R}^2 3b_1-3b_2=(0,3), que coincide com F(1,1).]

Resposta

[F]_B=\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt]-3 & 0\end{pmatrix}]

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