Determinar a representação matricial de cada um dos seguintes operadores do
em relação às bases indicadas:
(b)
e base
(b)
Passo 1
O enunciado pede a representação matricial do operador linear
dado por
em relação à base
.
Informações relevantes fornecidas:
A tarefa é encontrar a matriz
tal que, para todo vetor
, as coordenadas de
na base
são obtidas multiplicando
pelas coordenadas de
na base
.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método que vamos aplicar): para achar a matriz de um operador linear numa base
, calculamos as imagens dos vetores da base
por
e escrevemos cada imagem como combinação linear dos vetores da própria base
. As coordenadas obtidas (os coeficientes dessas combinações) formam as colunas da matriz
: a primeira coluna é as coordenadas de
em
, a segunda coluna é as coordenadas de
em
. Isso funciona porque
é linear e qualquer vetor é combinação dos vetores da base.
Passo 3
Calcular
com
. Substituindo em
:
Passo 4
Expressar
Escrevendo as componentes:
Da segunda equação vem
dá
. Logo as coordenadas de
na base
são
Passo 5
Calcular
com
. Substituindo:
Passo 6
Expressar
Das componentes:
Da segunda equação
dá
. Assim as coordenadas de
na base
são
Passo 7
Montar a matriz de
na base
: as colunas são as coordenadas de
e
, respectivamente. Portanto
Breve verificação (opcional, para te deixar mais confiante): o vetor
tem coordenadas
em
. Multiplicando a matriz por esse vetor obtemos a primeira coluna
, que são justamente as coordenadas de
em
; convertendo de volta ao padrão
dá
, que coincide com
.]