Estude a posição relativa das retas r e s. Se as retas forem concorrentes encontre o ponto de intersecção delas. r:(1,4,4)+(1,2,3) t e s:(2,5,1)+(1,4,1) u
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço em forma paramétrica:
r: (1,4,4) + (1,2,3)t,
s: (2,5,1) + (1,4,1)u.
Perguntas: estudar a posição relativa entre r e s (são paralelas, coincidentes, concorrentes/que se intersectam ou reversas/escalares?) e, caso sejam concorrentes, encontrar o ponto de interseção.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Um ponto de r é A=(1,4,4).
Vetor diretor de r é \mathbf{v}=(1,2,3).
Um ponto de s é B=(2,5,1).
Vetor diretor de s é \mathbf{w}=(1,4,1).
Passo 2
Primeiro passo técnico: verificar se os vetores diretores \mathbf{v} e \mathbf{w} são paralelos (isto é, se existe escalar k tal que \mathbf{w}=k\mathbf{v}). Se forem paralelos, as retas podem ser paralelas ou coincidentes; se não forem, as retas ou se intersectam (concorrentes) ou são reversas (não coplanares, sem interseção).
Já vimos que da primeira equação k=1 e da segunda k=2. Como os valores de k seriam diferentes, não existe um único k que satisfaça todas as componentes. Portanto \mathbf{v} e \mathbf{w} não são paralelos.
Conclusão deste passo: as retas não são paralelas. Logo ou se intersectam (concorrentes) ou são reversas (não coplanares, sem interseção). Próximo passo: tentar resolver para ver se há interseção.
Passo 3
Para verificar se há interseção, igualamos os vetores-ponto das retas e obtemos um sistema em t e u. A condição de interseção é que exista t,u tais que
(1,4,4) + (1,2,3)t = (2,5,1) + (1,4,1)u.
Separando as três coordenadas obtemos o sistema linear:
O lado direito de (3) é -3. Como 4 \neq -3, os valores obtidos não satisfazem a terceira equação: o sistema é inconsistente.
Interpretação: não existe par (t,u) que resolva simultaneamente as três equações; portanto não há ponto comum entre r e s.
Passo 7
Concluímos a posição relativa: as retas não são paralelas (ver Passo 2) e não têm interseção (ver Passos 5–6). No espaço isso significa que as retas são reversas (também chamadas de retas não coplanares): não se intersectam e não são paralelas.
Observação final didática rápida: se tivessem sido concorrentes teríamos encontrado um par (t,u) que satisfaz todas as três equações; então o ponto de interseção poderia ser obtido substituindo esse t em A+(t)\mathbf{v} (ou esse u em B+(u)\mathbf{w}). Aqui, como o sistema é inconsistente, não existe ponto de interseção.
Resposta
Posição relativa: as retas são reversas (não paralelas e sem interseção).
Ponto de interseção: não existe.