Estude a posição relativa das retas r e s. Se as retas forem concorrentes encontre o ponto de intersecção delas.
r:(1,4,4)+(1,2,3) t e s:(2,5,1)+(1,4,1) u

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço em forma paramétrica:
r: (1,4,4) + (1,2,3)t,
s: (2,5,1) + (1,4,1)u.
Perguntas: estudar a posição relativa entre r e s (são paralelas, coincidentes, concorrentes/que se intersectam ou reversas/escalares?) e, caso sejam concorrentes, encontrar o ponto de interseção.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Um ponto de r é A=(1,4,4).
  • Vetor diretor de r é \mathbf{v}=(1,2,3).
  • Um ponto de s é B=(2,5,1).
  • Vetor diretor de s é \mathbf{w}=(1,4,1).

Passo 2

Primeiro passo técnico: verificar se os vetores diretores \mathbf{v} e \mathbf{w} são paralelos (isto é, se existe escalar k tal que \mathbf{w}=k\mathbf{v}). Se forem paralelos, as retas podem ser paralelas ou coincidentes; se não forem, as retas ou se intersectam (concorrentes) ou são reversas (não coplanares, sem interseção).
Calculemos se existe k tal que
(1,4,1)=k(1,2,3).
Isso exige comparar componentes:
  • Pela componente x: 1 = k\cdot 1 \Rightarrow k=1.
  • Pela componente y: 4 = k\cdot 2 \Rightarrow 4 = 2k \Rightarrow k=2.
Já vimos que da primeira equação k=1 e da segunda k=2. Como os valores de k seriam diferentes, não existe um único k que satisfaça todas as componentes. Portanto \mathbf{v} e \mathbf{w} não são paralelos.
Conclusão deste passo: as retas não são paralelas. Logo ou se intersectam (concorrentes) ou são reversas (não coplanares, sem interseção). Próximo passo: tentar resolver para ver se há interseção.

Passo 3

Para verificar se há interseção, igualamos os vetores-ponto das retas e obtemos um sistema em t e u. A condição de interseção é que exista t,u tais que
(1,4,4) + (1,2,3)t = (2,5,1) + (1,4,1)u.
Separando as três coordenadas obtemos o sistema linear:
\begin{cases} 1 + t = 2 + u,\\[4pt] 4 + 2t = 5 + 4u,\\[4pt] 4 + 3t = 1 + u. \end{cases}]

Passo 4

Simplifiquemos cada equação para uma forma mais conveniente:
Da primeira equação:
1 + t = 2 + u \;\Longrightarrow\; t - u = 1. \tag{1}
Da segunda:
4 + 2t = 5 + 4u \;\Longrightarrow\; 2t - 4u = 1. \tag{2}
Da terceira:
4 + 3t = 1 + u \;\Longrightarrow\; 3t - u = -3. \tag{3}
Usamos a equação (1) para expressar t em função de u:
t = 1 + u. \tag{4}

Passo 5

Substituímos (4) em (2) para resolver u:
2(1+u) - 4u = 1.
Calcule passo a passo:
2 + 2u - 4u = 1 \Rightarrow 2 - 2u = 1 \Rightarrow -2u = -1 \Rightarrow u = \tfrac{1}{2}.
Agora usamos (4) para obter t:
t = 1 + u = 1 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}.

Passo 6

Devemos verificar se esses valores t=\tfrac{3}{2} e u=\tfrac{1}{2} satisfazem a equação (3). Calculemos o lado esquerdo de (3):
3t - u = 3\cdot \tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{2} = \tfrac{9}{2} - \tfrac{1}{2} = \tfrac{8}{2} = 4.
O lado direito de (3) é -3. Como 4 \neq -3, os valores obtidos não satisfazem a terceira equação: o sistema é inconsistente.
Interpretação: não existe par (t,u) que resolva simultaneamente as três equações; portanto não há ponto comum entre r e s.

Passo 7

Concluímos a posição relativa: as retas não são paralelas (ver Passo 2) e não têm interseção (ver Passos 5–6). No espaço isso significa que as retas são reversas (também chamadas de retas não coplanares): não se intersectam e não são paralelas.
Observação final didática rápida: se tivessem sido concorrentes teríamos encontrado um par (t,u) que satisfaz todas as três equações; então o ponto de interseção poderia ser obtido substituindo esse t em A+(t)\mathbf{v} (ou esse u em B+(u)\mathbf{w}). Aqui, como o sistema é inconsistente, não existe ponto de interseção.

Resposta

Posição relativa: as retas são reversas (não paralelas e sem interseção).
Ponto de interseção: não existe.

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