Classifique a forma quadrática. Em seguida, faça uma mudança de variável
que transforma a forma quadrática em uma sem termos cruzados. Escreva a nova forma quadrática. Construa a matriz
ortogonal.
;
Passo 1
O enunciado dá a forma quadrática
e pede:
- classificar a forma quadrática (positiva, negativa, indefinida, etc.);
- encontrar uma mudança de variável
que elimine os termos cruzados; - escrever a nova forma quadrática em termos de
; - construir a matriz
ortogonal usada na mudança de variável.
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Converter a forma quadrática em matriz é o primeiro passo técnico. Lembre que, para uma forma quadrática em duas variáveis,
onde
é simétrica e os coeficientes fora da diagonal se distribuem em duas posições: se o termo cruzado é
, então escolhemos
Assim a matriz associada é
Explicação curta: escrevemos a forma como
para poder usar diagonalização ortogonal.]
Passo 3
Para classificar a forma usamos os autovalores de
. Calculemos o polinômio característico:
Desenvolvendo:
Resolvendo
usando fórmula de Bhaskara:
Logo os autovalores são
Passo 4
Como os dois autovalores são positivos (
e
), a forma quadrática é definida positiva (positiva definida). Intuição: em todo
temos
.
Passo 5
Vamos calcular autovetores para diagonalizar
. Começo por
. Resolvemos
:
Da primeira linha obtemos
, que simplifica para
. Assim
. Um autovetor escolhido é
Normalizamos para obter um vetor unitário:
Passo 6
Agora
. Resolvemos
:
Da primeira linha
, logo
. Tomando
obtemos o autovetor
Normalizando:
Passo 7
Os vetores
e
são unitários e ortogonais entre si (verificação: produto escalar
). Colocando-os como colunas formamos a matriz ortogonal
:
Por definição de diagonalização ortogonal temos
Você pode verificar a ortogonalidade observando
e checar que
dá a diagonal acima (é só multiplicar se quiser confirmar).]
Passo 8
Fazendo a mudança de variável
(com
ortogonal) transforma a forma quadrática em
Como
, a nova forma sem termos cruzados é
Dica prática para a prova: escolha autovetores simples (inteiros) e normalize; a matriz ortogonal tem colunas esses vetores normalizados.
Resposta
Positiva definida.