Classifique a forma quadrática. Em seguida, faça uma mudança de variável boldsymbol{x}=P \boldsymbol{y} que transforma a forma quadrática em uma sem termos cruzados. Escreva a nova forma quadrática. Construa a matriz P ortogonal.
3 x_{1}^{2}-4 x_{1} x_{2}+6 x_{2}^{2};

Passo 1

O enunciado dá a forma quadrática
3x_{1}^{2}-4x_{1}x_{2}+6x_{2}^{2}
e pede:
  • classificar a forma quadrática (positiva, negativa, indefinida, etc.);
  • encontrar uma mudança de variável \boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y} que elimine os termos cruzados;
  • escrever a nova forma quadrática em termos de \boldsymbol{y};
  • construir a matriz P ortogonal usada na mudança de variável.
Informações relevantes fornecidas:
\text{Forma dada: } q(\boldsymbol{x}) = 3x_{1}^{2}-4x_{1}x_{2}+6x_{2}^{2}.

Passo 2

Converter a forma quadrática em matriz é o primeiro passo técnico. Lembre que, para uma forma quadrática em duas variáveis,
q(\boldsymbol{x}) = \begin{pmatrix}x_1 & x_2\end{pmatrix} A \begin{pmatrix}x_1 \\\ x_2\end{pmatrix},
onde A é simétrica e os coeficientes fora da diagonal se distribuem em duas posições: se o termo cruzado é -4x_1x_2, então escolhemos
A_{12}=A_{21}=\frac{-4}{2}=-2.
Assim a matriz associada é
A=\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt]-2 & 6\end{pmatrix}.
Explicação curta: escrevemos a forma como \boldsymbol{x}^T A \boldsymbol{x} para poder usar diagonalização ortogonal.]

Passo 3

Para classificar a forma usamos os autovalores de A. Calculemos o polinômio característico:
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}3-\lambda & -2\\[4pt]-2 & 6-\lambda\end{pmatrix}=(3-\lambda)(6-\lambda)-(-2)(-2).
Desenvolvendo:
(3-\lambda)(6-\lambda)-4 = 18-9\lambda+\lambda^{2}-4=\lambda^{2}-9\lambda+14.
Resolvendo \lambda^{2}-9\lambda+14=0 usando fórmula de Bhaskara:
\Delta = 9^{2}-4\cdot1\cdot14=81-56=25,
\lambda=\frac{9\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{9\pm5}{2}.
Logo os autovalores são
\lambda_{1}=7,\qquad \lambda_{2}=2.]

Passo 4

Como os dois autovalores são positivos ( \lambda_{1}=7>0 e \lambda_{2}=2>0), a forma quadrática é definida positiva (positiva definida). Intuição: em todo \boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0} temos q(\boldsymbol{x})>0.

Passo 5

Vamos calcular autovetores para diagonalizar A. Começo por \lambda_{1}=7. Resolvemos (A-7I)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}:
\begin{pmatrix}3-7 & -2\\[4pt]-2 & 6-7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-4 & -2\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Da primeira linha obtemos -4v_1-2v_2=0, que simplifica para 2v_1+v_2=0. Assim v_2=-2v_1. Um autovetor escolhido é
\boldsymbol{v}^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Normalizamos para obter um vetor unitário:
\|\boldsymbol{v}^{(1)}\|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{5},
\boldsymbol{u}^{(1)}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora \lambda_{2}=2. Resolvemos (A-2I)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}:
\begin{pmatrix}3-2 & -2\\[4pt]-2 & 6-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]-2 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Da primeira linha v_1-2v_2=0, logo v_1=2v_2. Tomando v_2=1 obtemos o autovetor
\boldsymbol{v}^{(2)}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Normalizando:
\|\boldsymbol{v}^{(2)}\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5},
\boldsymbol{u}^{(2)}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Os vetores \boldsymbol{u}^{(1)} e \boldsymbol{u}^{(2)} são unitários e ortogonais entre si (verificação: produto escalar \frac{1}{5}(1\cdot2 + (-2)\cdot1)=0). Colocando-os como colunas formamos a matriz ortogonal P:
P=\begin{pmatrix}\boldsymbol{u}^{(1)} & \boldsymbol{u}^{(2)}\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}.
Por definição de diagonalização ortogonal temos
P^{T}AP=\begin{pmatrix}7 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}=D.
Você pode verificar a ortogonalidade observando P^{T}P=I e checar que P^{T}AP dá a diagonal acima (é só multiplicar se quiser confirmar).]

Passo 8

Fazendo a mudança de variável \boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y} (com P ortogonal) transforma a forma quadrática em
q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}=(P\boldsymbol{y})^{T}A(P\boldsymbol{y})=\boldsymbol{y}^{T}(P^{T}AP)\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}^{T}D\boldsymbol{y}.
Como D=\operatorname{diag}(7,2), a nova forma sem termos cruzados é
7y_{1}^{2}+2y_{2}^{2}.
Dica prática para a prova: escolha autovetores simples (inteiros) e normalize; a matriz ortogonal tem colunas esses vetores normalizados.

Resposta

Positiva definida.
7y_{1}^{2}+2y_{2}^{2}
P=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}]

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