Faça uma mudança de variável \boldsymbol{x}=P \boldsymbol{y} que transforma a forma quadrática x_{1}^{2}+10 x_{1} x_{2}+x_{2}^{2} em uma forma quadrática sem termos cruzados. Encontre P e a nova forma quadrática.

Passo 1

O que o problema pede: encontrar uma mudança de variável \boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y} que transforme a forma quadrática
x_{1}^{2}+10x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}
em uma forma quadrática sem termos cruzados; isto é, obter uma forma apenas com y_{1}^{2} e y_{2}^{2}. Também é pedido encontrar a matriz P dessa mudança e a nova forma quadrática.
Informações dadas pelo enunciado:
\text{Forma quadrática: } q(\boldsymbol{x})=x_{1}^{2}+10x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}.á
Nada mais foi dado explicitamente; a relação entre forma quadrática e a matriz simétrica associada será usada na resolução.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): toda forma quadrática em duas variáveis pode ser escrita como
q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x},
onde A é uma matriz simétrica 2\times2. Para termos cruzados 2a_{12}x_{1}x_{2} o elemento fora da diagonal aparece como a_{12}=\frac{1}{2} do coeficiente do termo cruzado. Então, a partir de
x_{1}^{2}+10x_{1}x_{2}+x_{2}^{2},
podemos identificar a matriz A assim:
A=\begin{pmatrix}1 & 5 \\[4pt] 5 & 1\end{pmatrix},
pois 2\cdot5=10 dá o coeficiente do termo cruzado e os termos diagonais são os coeficientes de x_{1}^{2} e x_{2}^{2}.
A estratégia (explicação didática): se encontrarmos uma matriz P ortogonal que diagonalize A, isto é, tal que
P^{T}AP=D
com D diagonal, então com a mudança \boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y} teremos
q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{y}^{T}D\boldsymbol{y},
uma forma sem termos cruzados. Para diagonalizar A procuramos seus autovalores e autovetores.]

Passo 3

Calcular os autovalores de A.
A equação característica é
\det(A-\lambda I)=0.
Escrevendo:
\det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & 5\\[4pt]5 & 1-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)^{2}-25=0.
Desenvolvendo:
(1-\lambda)^{2}-25 = \lambda^{2}-2\lambda-24=0.
Resolvendo a equação quadrática:
\lambda=\frac{2\pm\sqrt{4+96}}{2}=\frac{2\pm10}{2},
portanto
\lambda_{1}=6,\qquad \lambda_{2}=-4.]

Passo 4

Encontrar autovetores associados.
Para \lambda_{1}=6 resolvemos (A-6I)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}:
\begin{pmatrix}1-6 & 5\\[4pt]5 & 1-6\end{pmatrix}\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}-5 & 5\\[4pt]5 & -5\end{pmatrix}\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}.
Isso dá a condição -5 v_{1}+5 v_{2}=0\Rightarrow v_{1}=v_{2}. Um autovetor conveniente é
\boldsymbol{v}_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Para \lambda_{2}=-4 resolvemos (A+4I)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}:
\begin{pmatrix}1+4 & 5\\[4pt]5 & 1+4\end{pmatrix}\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}5 & 5\\[4pt]5 & 5\end{pmatrix}\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}.
Isso dá 5 v_{1}+5 v_{2}=0\Rightarrow v_{2}=-v_{1}. Um autovetor conveniente é
\boldsymbol{v}_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Construir P usando autovetores ortonormais.
Para obter P ortogonal (facilita, e é padrão para eliminar termos cruzados sem escalas extras) normalizamos os autovetores:
Norma de \boldsymbol{v}_{1} é \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}, então
\boldsymbol{u}_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Norma de \boldsymbol{v}_{2} é \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}, então
\boldsymbol{u}_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Montamos P cujas colunas são \boldsymbol{u}_{1} e \boldsymbol{u}_{2}:
P=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt]\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.
Observação: P é ortogonal, isto é, P^{T}P=I.]

Passo 6

Verificar que P^{T}AP é diagonal e obter a nova forma.
Como \boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2} são autovetores unitários de A com autovalores 6 e -4, temos diretamente
A\boldsymbol{u}_{1}=6\boldsymbol{u}_{1},\qquad A\boldsymbol{u}_{2}=-4\boldsymbol{u}_{2}.
Isso implica que, multiplicando por P,
AP=\begin{pmatrix}A\boldsymbol{u}_{1} & A\boldsymbol{u}_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\boldsymbol{u}_{1} & -4\boldsymbol{u}_{2}\end{pmatrix}.
Multiplicando à esquerda por P^{T} (lembrando que as colunas de P são ortonormais) obtemos
P^{T}AP=\begin{pmatrix}6 & 0\\[4pt]0 & -4\end{pmatrix}.
Com a mudança \boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y} a forma quadrática fica
q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{y}^{T}(P^{T}AP)\boldsymbol{y}=6y_{1}^{2}-4y_{2}^{2}.]

Resposta

P=\displaystyle\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt]\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\n
Nova forma quadrática: \;6y_{1}^{2}-4y_{2}^{2}]

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