Faça uma mudança de variável \boldsymbol{x}=P \boldsymbol{y} que transforma a forma quadrática x_{1}^{2}+10 x_{1} x_{2}+x_{2}^{2} em uma forma quadrática sem termos cruzados. Encontre P e a nova forma quadrática.
Passo 1
O que o problema pede: encontrar uma mudança de variável \boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y} que transforme a forma quadrática
x_{1}^{2}+10x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}
em uma forma quadrática sem termos cruzados; isto é, obter uma forma apenas com y_{1}^{2} e y_{2}^{2}. Também é pedido encontrar a matriz P dessa mudança e a nova forma quadrática.
onde A é uma matriz simétrica 2\times2. Para termos cruzados 2a_{12}x_{1}x_{2} o elemento fora da diagonal aparece como a_{12}=\frac{1}{2} do coeficiente do termo cruzado. Então, a partir de
P=\displaystyle\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt]\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\n
Nova forma quadrática: \;6y_{1}^{2}-4y_{2}^{2}]