Suponha que boldsymbol{x} pertença a \mathbb{R}^{3} e encontre a matriz associada à forma quadrática.
4 x_{1} x_{2}+6 x_{1} x_{3}-8 x_{2} x_{3}

Passo 1

O enunciado dá a forma quadrática
q(\boldsymbol{x})=4x_{1}x_{2}+6x_{1}x_{3}-8x_{2}x_{3}
onde \boldsymbol{x} pertence a \mathbb{R}^{3}, e pede para encontrar a matriz associada a essa forma quadrática.
Informações relevantes dadas: os coeficientes dos termos mistos são 4 para x_{1}x_{2}, 6 para x_{1}x_{3} e -8 para x_{2}x_{3}. Não há termos do tipo x_{1}^{2}, x_{2}^{2} ou x_{3}^{2} explícitos (ou seja, seus coeficientes são zero).

Passo 2

Vamos lembrar a relação entre forma quadrática e matriz: se A é a matriz simétrica associada, então
q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}.
Aqui \boldsymbol{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T} e A=(a_{ij})_{3\times3}. É importante usar uma matriz simétrica porque qualquer forma quadrática pode ser escrita com uma matriz simétrica única.

Passo 3

Explicando por que a matriz é simétrica e como aparecem os coeficientes: ao expandir \boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x} obtemos
\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}=\sum_{i=1}^{3} a_{ii}x_{i}^{2}+2\sum_{1\le i<j\le 3} a_{ij}x_{i}x_{j}.
Aqui a_{ii} são os elementos da diagonal (coeficientes dos termos quadráticos x_{i}^{2}) e a_{ij}=a_{ji} são os elementos fora da diagonal. Note que cada termo misto x_{i}x_{j} aparece duas vezes no produto (uma via a_{ij}x_{i}x_{j} e outra via a_{ji}x_{j}x_{i}), por isso o fator 2 na soma dos mistos.

Passo 4

Aplicamos a fórmula acima ao nosso caso: como não há termos x_{i}^{2}, temos
a_{11}=a_{22}=a_{33}=0.
Para os termos mistos, se o coeficiente de x_{i}x_{j} em q(\boldsymbol{x}) é c_{ij}, então devemos ter 2a_{ij}=c_{ij}, ou seja a_{ij}=c_{ij}/2. Usando os coeficientes dados:
a_{12}=a_{21}=\frac{4}{2}=2,
a_{13}=a_{31}=\frac{6}{2}=3,
a_{23}=a_{32}=\frac{-8}{2}=-4.

Passo 5

Agora montamos a matriz A com os elementos calculados:
A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\[4pt] 2 & 0 & -4\\[4pt] 3 & -4 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Checagem rápida (para você confiar no resultado): calculemos \boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x} usando a forma expandida com os a_{ij} encontrados:
\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}=0\cdot x_{1}^{2}+0\cdot x_{2}^{2}+0\cdot x_{3}^{2}+2\big(2x_{1}x_{2}+3x_{1}x_{3}+(-4)x_{2}x_{3}\big),
ou seja
\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}=4x_{1}x_{2}+6x_{1}x_{3}-8x_{2}x_{3},
que é exatamente q(\boldsymbol{x}). Perfeito — a matriz está correta. Força aí, você já desvendou o passo essencial!

Resposta

\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\[4pt] 2 & 0 & -4\\[4pt] 3 & -4 & 0 \end{pmatrix}]

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