Classifique a forma quadrática. Em seguida, faça uma mudança de variável boldsymbol{x}=P \boldsymbol{y} que transforma a forma quadrática em uma sem termos cruzados. Escreva a nova forma quadrática. Construa a matriz P ortogonal.
2 x_{1}^{2}+10 x_{1} x_{2}+2 x_{2}^{2};

Passo 1

O enunciado dá a forma quadrática
2x_{1}^{2}+10x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2}
e pede: (i) classificar a forma quadrática; (ii) encontrar uma mudança de variáveis \boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y} que elimine os termos cruzados; (iii) escrever a nova forma quadrática sem termos cruzados; (iv) construir a matriz P ortogonal. Informação relevante: o coeficiente do termo misto x_{1}x_{2} é 10.

Passo 2

Convém escrever a forma quadrática na forma matricial \boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}. Para uma forma a x_{1}^{2}+2b x_{1}x_{2}+c x_{2}^{2} a matriz é
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] b & c\end{pmatrix}.
No nosso caso o termo misto é 10x_{1}x_{2}, que corresponde a 2b=10, logo b=5. Assim
A=\begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt] 5 & 2\end{pmatrix}.
Explicação rápida: a forma \boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x} ao expandir dá a x_{1}^{2}+2b x_{1}x_{2}+c x_{2}^{2}, por isso dividimos o coeficiente do termo cruzado por 2 para preencher as entradas fora da diagonal.]

Passo 3

Para classificar a forma quadrática precisamos dos autovalores (valores próprios) da matriz simétrica A. Calculamos o polinômio característico:
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 5\\[4pt] 5 & 2-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)^{2}-25.
Expandindo,
(2-\lambda)^{2}-25=\lambda^{2}-4\lambda-21.]

Passo 4

Resolvemos \lambda^{2}-4\lambda-21=0. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
\lambda=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot1\cdot(-21)}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{16+84}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2}=\frac{4\pm10}{2}.
Logo os autovalores são
\lambda_{1}=7,\qquad \lambda_{2}=-3.

Passo 5

Classificação: como há um autovalor positivo ( \lambda_{1}=7) e um autovalor negativo ( \lambda_{2}=-3), a forma quadrática é indefinida (tem sinal trocado — não é positiva nem negativa definida). Em linguagem mais simples: a forma assume valores positivos e negativos dependendo de \boldsymbol{x}.

Passo 6

Agora vamos encontrar os autovetores correspondentes para construir P. Começamos por \lambda_{1}=7. Resolvemos (A-7I)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}:
\begin{pmatrix}2-7 & 5\\[4pt] 5 & 2-7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt] v_{2}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-5 & 5\\[4pt] 5 & -5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt] v_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
A equação dá -5v_{1}+5v_{2}=0, isto é v_{1}=v_{2}. Podemos escolher o autovetor \boldsymbol{v}^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Normalizamos \boldsymbol{v}^{(1)} para obter um vetor unitário. A norma é
\|\boldsymbol{v}^{(1)}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Então o vetor unitário é
\boldsymbol{u}_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Explicação: normalizar significa dividir pelo comprimento para garantir que \|\boldsymbol{u}_{1}\|=1, útil para construir P ortogonal.]

Passo 8

Agora \lambda_{2}=-3. Resolvemos (A+3I)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}:
\begin{pmatrix}2+3 & 5\\[4pt] 5 & 2+3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt] v_{2}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}5 & 5\\[4pt] 5 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt] v_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Daí 5v_{1}+5v_{2}=0, ou v_{1}=-v_{2}. Tomamos \boldsymbol{v}^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix}.]

Passo 9

Normalizamos \boldsymbol{v}^{(2)}. A norma é \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}. Logo
\boldsymbol{u}_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix}.
Os vetores \boldsymbol{u}_{1} e \boldsymbol{u}_{2} são ortogonais e unitários, portanto formam uma base ortonormal.]

Passo 10

Construímos a matriz ortogonal P cujas colunas são os vetores unitários \boldsymbol{u}_{1} e \boldsymbol{u}_{2}:
P=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
Propriedade importante: P^{T}P=I (isto é, P é ortogonal) e
P^{T}AP=\begin{pmatrix}\lambda_{1} & 0\\[4pt] 0 & \lambda_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 & 0\\[4pt] 0 & -3\end{pmatrix}.
Podemos verificar isso multiplicando, mas a construção por autovetores já garante a diagonalização com autovalores na diagonal.]

Passo 11

A mudança de variável pedida é \boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y}. Substituindo na forma quadrática obtemos (usando \boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}^{T}(P^{T}AP)\boldsymbol{y})
\boldsymbol{y}^{T}\begin{pmatrix}7 & 0\\[4pt] 0 & -3\end{pmatrix}\boldsymbol{y}=7y_{1}^{2}-3y_{2}^{2}.
Isso é uma forma sem termos cruzados — só termos quadráticos separados.]

Resposta

Classificação: indefinida (autovalores \;7 e -3).
Matriz ortogonal P:
P=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}
Nova forma quadrática (em \boldsymbol{y}):
7y_{1}^{2}-3y_{2}^{2}]

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