Classifique a forma quadrática. Em seguida, faça uma mudança de variável
que transforma a forma quadrática em uma sem termos cruzados. Escreva a nova forma quadrática. Construa a matriz
ortogonal.
;
Passo 1
O enunciado dá a forma quadrática
e pede: (i) classificar a forma quadrática; (ii) encontrar uma mudança de variáveis
que elimine os termos cruzados; (iii) escrever a nova forma quadrática sem termos cruzados; (iv) construir a matriz
ortogonal. Informação relevante: o coeficiente do termo misto
é
.
Passo 2
Convém escrever a forma quadrática na forma matricial
. Para uma forma
a matriz é
No nosso caso o termo misto é
, que corresponde a
, logo
. Assim
Explicação rápida: a forma
ao expandir dá
, por isso dividimos o coeficiente do termo cruzado por
para preencher as entradas fora da diagonal.]
Passo 3
Para classificar a forma quadrática precisamos dos autovalores (valores próprios) da matriz simétrica
. Calculamos o polinômio característico:
Expandindo,
Passo 4
Resolvemos
. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Logo os autovalores são
Passo 5
Classificação: como há um autovalor positivo (
) e um autovalor negativo (
), a forma quadrática é indefinida (tem sinal trocado — não é positiva nem negativa definida). Em linguagem mais simples: a forma assume valores positivos e negativos dependendo de
.
Passo 6
Agora vamos encontrar os autovetores correspondentes para construir
. Começamos por
. Resolvemos
:
A equação dá
, isto é
. Podemos escolher o autovetor
.]
Passo 7
Normalizamos
para obter um vetor unitário. A norma é
Então o vetor unitário é
Explicação: normalizar significa dividir pelo comprimento para garantir que
, útil para construir
ortogonal.]
Passo 8
Agora
. Resolvemos
:
Daí
, ou
. Tomamos
.]
Passo 9
Normalizamos
. A norma é
. Logo
Os vetores
e
são ortogonais e unitários, portanto formam uma base ortonormal.]
Passo 10
Construímos a matriz ortogonal
cujas colunas são os vetores unitários
e
:
Propriedade importante:
(isto é,
é ortogonal) e
Podemos verificar isso multiplicando, mas a construção por autovetores já garante a diagonalização com autovalores na diagonal.]
Passo 11
A mudança de variável pedida é
. Substituindo na forma quadrática obtemos (usando
)
Isso é uma forma sem termos cruzados — só termos quadráticos separados.]
Resposta
Classificação: indefinida (autovalores
e
).
Matriz ortogonal :
Matriz ortogonal
Nova forma quadrática (em
):