Classifique a forma quadrática. Em seguida, faça uma mudança de variável boldsymbol{x}=P \boldsymbol{y} que transforma a forma quadrática em uma sem termos cruzados. Escreva a nova forma quadrática. Construa a matriz P ortogonal.
\quad x_{1}^{2}-6 x_{1} x_{2}+9 x_{2}^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) classificar a forma quadrática e (2) encontrar uma mudança de variáveis \boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y} com P ortogonal que elimine os termos cruzados, e escrever a nova forma quadrática sem termos cruzados. A forma dada é
x_{1}^{2}-6x_{1}x_{2}+9x_{2}^{2}.
Informações relevantes: os coeficientes são 1 para x_{1}^{2}, -6 para o termo misto x_{1}x_{2} e 9 para x_{2}^{2}. Não há outras variáveis.

Passo 2

Primeiro vamos representar a forma quadrática por uma matriz simétrica A tal que, para \boldsymbol{x}=(x_{1},x_{2})^{T},
q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}.
Regra prática em duas variáveis: o coeficiente de x_{1}^{2} é a_{11}, de x_{2}^{2} é a_{22} e o termo misto 2a_{12}x_{1}x_{2} corresponde a a_{12}=a_{21}. Aqui temos termo misto -6x_{1}x_{2}=2\cdot(-3)x_{1}x_{2}, logo a_{12}=a_{21}=-3. Assim
A=\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt] -3 & 9\end{pmatrix}.]

Passo 3

Teoria curta e útil: uma matriz simétrica real A pode ser diagonalizada por uma matriz ortogonal P, isto é, existe P ortogonal tal que
P^{T}AP=\mathrm{diag}(\lambda_{1},\lambda_{2}),
onde \lambda_{1},\lambda_{2} são os autovalores de A. Para eliminar termos cruzados na forma é suficiente escolher como colunas de P autovetores ortonormais de A. Portanto vamos calcular os autovalores de A.

Passo 4

Calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I):
\det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & -3\\[4pt]-3 & 9-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(9-\lambda)-(-3)(-3).
Desenvolvendo:
(1-\lambda)(9-\lambda)-9=9-10\lambda+\lambda^{2}-9=\lambda^{2}-10\lambda=\lambda(\lambda-10).
Logo os autovalores são
\lambda_{1}=0,\qquad \lambda_{2}=10.
Classificação da forma quadrática: os autovalores são não negativos e há um autovalor zero e outro positivo, portanto a forma é positiva semidefinida (ou semidefinida positiva). Observação extra (útil na prova): a forma também pode ser escrita como
x_{1}^{2}-6x_{1}x_{2}+9x_{2}^{2}=(x_{1}-3x_{2})^{2},
o que confirma que é sempre \ge 0 e que tem núcleo não trivial.]

Passo 5

Agora vamos encontrar autovetores e ortonormalizá‑los.
Para \lambda_{1}=0 resolvemos A\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}:
\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt]-3 & 9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt]v_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}
da primeira equação obtemos v_{1}-3v_{2}=0, então podemos escolher um autovetor proporcional a (3,1). Pegamos
\boldsymbol{v}^{(1)}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
O comprimento (norma Euclidiana) é \sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}. Normalizando obtemos o vetor unitário
\boldsymbol{u}_{1}=\frac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3/\sqrt{10}\\[4pt]1/\sqrt{10}\end{pmatrix}.
Para \lambda_{2}=10 resolvemos (A-10I)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}:
\begin{pmatrix}-9 & -3\\[4pt]-3 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt]v_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Da primeira linha -9v_{1}-3v_{2}=0 segue 3v_{1}+v_{2}=0, então podemos escolher \boldsymbol{v}^{(2)}=(1,-3). A norma é \sqrt{1^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{10}. Normalizando:
\boldsymbol{u}_{2}=\frac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/\sqrt{10}\\[4pt]-3/\sqrt{10}\end{pmatrix}.
Note que \boldsymbol{u}_{1} e \boldsymbol{u}_{2} são ortogonais (produto escalar (3)(1)+1(-3)=0 ) e ambos unitários, logo formam uma base ortonormal.]

Passo 6

Construímos a matriz ortogonal P cujas colunas são \boldsymbol{u}_{1} e \boldsymbol{u}_{2}:
P=\begin{pmatrix}3/\sqrt{10} & 1/\sqrt{10}\\[4pt]1/\sqrt{10} & -3/\sqrt{10}\end{pmatrix}.
Por construção P^{T}P=I (vetores colunas ortonormais) e, porque são autovetores de A,
P^{T}AP=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 10\end{pmatrix}.
(Explicação rápida: A\boldsymbol{u}_{1}=0\cdot\boldsymbol{u}_{1} e A\boldsymbol{u}_{2}=10\cdot\boldsymbol{u}_{2}, então ao projetar na base \{\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2}\} obtemos a diagonal dos autovalores.)]

Passo 7

Aplicando a mudança de variáveis \boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y} obtemos a forma quadrática em coordenadas \boldsymbol{y}=(y_{1},y_{2})^{T}:
q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}^{T}(P^{T}AP)\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}^{T}\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 10\end{pmatrix}\boldsymbol{y}=0\cdot y_{1}^{2}+10\cdot y_{2}^{2}=10y_{2}^{2}.
Portanto os termos mistos desapareceram e a nova forma é simplesmente 10y_{2}^{2}.]

Resposta

Forma quadrática classificada: positiva semidefinida (semidefinida positiva).
Matriz ortogonal P:
P=\begin{pmatrix}3/\sqrt{10} & 1/\sqrt{10}\\[4pt]1/\sqrt{10} & -3/\sqrt{10}\end{pmatrix}.
Nova forma quadrática (após \boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y}): 10y_{2}^{2}.]

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