Classifique a forma quadrática. Em seguida, faça uma mudança de variável
que transforma a forma quadrática em uma sem termos cruzados. Escreva a nova forma quadrática. Construa a matriz
ortogonal.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) classificar a forma quadrática e (2) encontrar uma mudança de variáveis
com
ortogonal que elimine os termos cruzados, e escrever a nova forma quadrática sem termos cruzados. A forma dada é
Informações relevantes: os coeficientes são
para
,
para o termo misto
e
para
. Não há outras variáveis.
Passo 2
Primeiro vamos representar a forma quadrática por uma matriz simétrica
tal que, para
,
Regra prática em duas variáveis: o coeficiente de
é
, de
é
e o termo misto
corresponde a
. Aqui temos termo misto
, logo
. Assim
Passo 3
Teoria curta e útil: uma matriz simétrica real
pode ser diagonalizada por uma matriz ortogonal
, isto é, existe
ortogonal tal que
onde
são os autovalores de
. Para eliminar termos cruzados na forma é suficiente escolher como colunas de
autovetores ortonormais de
. Portanto vamos calcular os autovalores de
.
Passo 4
Calculamos o polinômio característico
:
Desenvolvendo:
Logo os autovalores são
Classificação da forma quadrática: os autovalores são não negativos e há um autovalor zero e outro positivo, portanto a forma é positiva semidefinida (ou semidefinida positiva). Observação extra (útil na prova): a forma também pode ser escrita como
o que confirma que é sempre
e que tem núcleo não trivial.]
Passo 5
Agora vamos encontrar autovetores e ortonormalizá‑los.
Para
resolvemos
:
da primeira equação obtemos
, então podemos escolher um autovetor proporcional a
. Pegamos
O comprimento (norma Euclidiana) é
. Normalizando obtemos o vetor unitário
Para
resolvemos
:
Da primeira linha
segue
, então podemos escolher
. A norma é
. Normalizando:
Note que
e
são ortogonais (produto escalar
) e ambos unitários, logo formam uma base ortonormal.]
Passo 6
Construímos a matriz ortogonal
cujas colunas são
e
:
Por construção
(vetores colunas ortonormais) e, porque são autovetores de
,
(Explicação rápida:
e
, então ao projetar na base
obtemos a diagonal dos autovalores.)]
Passo 7
Aplicando a mudança de variáveis
obtemos a forma quadrática em coordenadas
:
Portanto os termos mistos desapareceram e a nova forma é simplesmente
.]
Resposta
Forma quadrática classificada: positiva semidefinida (semidefinida positiva).
Matriz ortogonal :
Matriz ortogonal
Nova forma quadrática (após
):
.]