Classifique, em função de
, as famílias de cônicas abaixo, determinando, nos casos nãodegenerados, o centro e a reta focal:
Passo 1
O enunciado pede que a gente classifique, para cada
, a curva dada por
O conteúdo envolve manipular casos especiais em
, dividir pela fator comum, completar quadrado em
e usar o discriminante
para distinguir elipse, hipérbole ou degenerações.
Passo 2
Primeiro note que, se
, todos os coeficientes à esquerda têm fator
, ficando
, impossível. Logo, para
não há pontos reais.
Passo 3
Para
dividimos a equação por
, obtendo
Agora completamos quadrado em
:
de modo que a equação vira
Passo 4
O discriminante da parte quadrática é
Se
então
e
, tipicamente elipse (ou imaginária, se RHS <
).
Se então
e
, hipérbole (ou degenerada, se RHS
).
Se
Passo 5
Precisamos ver quando
é positivo, zero ou negativo:
- Se
, o RHS é e a curva degenera em duas retas. - Se
, o numerador mas , logo RHS< : elipse imaginária (nenhum ponto real). - Para
, RHS> e , temos elipse real não degenerada. - Para
, RHS< e , temos hipérbole real não degenerada. - Para
, RHS< e , hipérbole real não degenerada (exceto já tratado). - Em
o coeficiente de some, e a equação torna-se , que não tem solução real.
Passo 6
Em todos os casos não degenerados (elipse real ou hipérbole real) o centro fica em
, pois completamos quadrado em
. Como não há termo cruzado
, os eixos principais são paralelos a
e
.
- Para a elipse (
) a maior semi-reta está na direção (coeficiente de é maior que o de ), então a reta focal (eixo maior) é a reta vertical
- Para a hipérbole (
) o sinal de é negativo, e a transversal pode ser horizontal ou vertical conforme maior ou menor que : - Se
, então e o eixo transversal é vertical, reta focal . - Se
, então e o eixo transversal é horizontal, reta focal
- Se
Resposta
Para
ou
não há pontos reais.
Para a elipse é imaginária (nenhum ponto real).
Em há degeneração em duas retas de equações
.
Para aparece uma elipse real de centro
e reta focal
.
Para ,
, aparece uma hipérbole real de centro
; se
a reta focal é
, e se
a reta focal é
.
Para
Em
Para
Para