Classifique, em função de lambda in R, as famílias de cônicas abaixo, determinando, nos casos nãodegenerados, o centro e a reta focal:
(lambda-1)(lambda-2) x^2+(lambda-2) y^2-2 lambda(lambda-2) y=3 lambda^2-lambda^3

Passo 1

O enunciado pede que a gente classifique, para cada lambdainR, a curva dada por
(lambda-1)(lambda-2)x^2+(lambda-2)y^2-2lambda(lambda-2)y ;=;3lambda^2-lambda^3
O conteúdo envolve manipular casos especiais em lambda, dividir pela fator comum, completar quadrado em y e usar o discriminante De<a para distinguir elipse, hipérbole ou degenerações.

Passo 2

Primeiro note que, se lambda=2, todos os coeficientes à esquerda têm fator lambda-2, ficando 0=3cdot2^2-2^3=4, impossível. Logo, para lambda=2 não há pontos reais.

Passo 3

Para lambdaneq2 dividimos a equação por lambda-2, obtendo
(lambda-1)x^2+y^2-2lambda y ;=;3lambda^2-lambda^3lambda-2 ;=;lambda^2,3-lambdalambda-2
Agora completamos quadrado em y:
y^2-2lambda y=(y-lambda)^2-lambda^2,
de modo que a equação vira
(lambda-1)x^2+(y-lambda)^2 =lambda^2,3-lambdalambda-2+lambda^2 =lambda^2lambda-2

Passo 4

O discriminante da parte quadrática é
De<a = 0^2-4(lambda-1)cdot1 = -4(lambda-1)
Se lambda>1 então lambda-1>0 e De<a<0, tipicamente elipse (ou imaginária, se RHS < 0).
Se lambda<1 então lambda-1<0 e De<a>0, hipérbole (ou degenerada, se RHS =0).

Passo 5

Precisamos ver quando lambda^2lambda-2 é positivo, zero ou negativo:
  • Se lambda=0, o RHS é 0 e a curva degenera em duas retas.
  • Se lambdain(1,2), o numerador lambda^2>0 mas lambda-2<0, logo RHS< 0: elipse imaginária (nenhum ponto real).
  • Para lambda>2, RHS> 0 e lambda>1, temos elipse real não degenerada.
  • Para lambda<0, RHS< 0 e lambda<1, temos hipérbole real não degenerada.
  • Para 0<lambda<1, RHS< 0 e lambda<1, hipérbole real não degenerada (exceto lambda=0 já tratado).
  • Em lambda=1 o coeficiente de x^2 some, e a equação torna-se -y^2+2y=2, que não tem solução real.

Passo 6

Em todos os casos não degenerados (elipse real ou hipérbole real) o centro fica em (0,lambda), pois completamos quadrado em y. Como não há termo cruzado xy, os eixos principais são paralelos a x e y.
  • Para a elipse ( lambda>2) a maior semi-reta está na direção y (coeficiente de x^2 é maior que o de (y-lambda)^2), então a reta focal (eixo maior) é a reta vertical
x=0
  • Para a hipérbole ( lambda<1) o sinal de lambda-1 é negativo, e a transversal pode ser horizontal ou vertical conforme lvertlambda-1rvert maior ou menor que 1:
    • Se lambda<0, então |lambda-1|=1-lambda>1 e o eixo transversal é vertical, reta focal x=0.
    • Se 0<lambda<1, então |lambda-1|=1-lambda<1 e o eixo transversal é horizontal, reta focal
    y=lambda

Resposta

Para lambda=2 ou lambda=1 não há pontos reais.
Para 1<lambda<2 a elipse é imaginária (nenhum ponto real).
Em lambda=0 há degeneração em duas retas de equações y=pm x.
Para lambda>2 aparece uma elipse real de centro (0,lambda) e reta focal x=0.
Para lambda<1, lambdaneq0, aparece uma hipérbole real de centro (0,lambda); se lambda<0 a reta focal é x=0, e se 0<lambda<1 a reta focal é y=lambda.

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