Classifique, em função de lambda in R, as famílias de cônicas abaixo, determinando, nos casos nãodegenerados, o centro e a reta focal:
(lambda-1) x^2+(lambda-3) y^2=lambda-2

Passo 1

O enunciado nos dá a família de cônicas
(lambda-1)x^2+(lambda-3)y^2=lambda-2,
com lambdainR. Trata-se de uma cônica centrada (não há termos em x nem em y nem em xy). Para classificar vamos usar:
– Os coeficientes das quadráticas são A=lambda-1 e C=lambda-3.
– O termo independente é D=lambda-2.
– Uma cônica é degenerada quando ou D=0 (passa a fatorar em retas que se cruzam) ou algum dos coeficientes de x^2 ou y^2 é zero com Dneq0 (retas paralelas). Caso contrário, é não degenerada e, sendo centrada, é elipse se A e C têm mesmo sinal, e hipérbole se sinais opostos.

Passo 2

Determinamos os casos degenerados:
– Se lambda=2 então D=0 e a equação vira
(2-1)x^2+(2-3)y^2=0;Longrightarrow;x^2-y^2=0,
que fatora em (x-y)(x+y)=0: duas retas concorrentes x=y e x=-y.
– Se lambda=1 então A=0 e D= -1neq0, resultando
0cdot x^2-2,y^2=-1;Longrightarrow;y^2=tfrac12,
duas retas paralelas y=pm1/raiz2.
– Se lambda=3 então C=0 e D=1neq0, resultando
2,x^2+0cdot y^2=1;Longrightarrow;x^2=tfrac12,
duas retas paralelas x=pm1/raiz2.

Passo 3

Agora lambdaneq1,2,3 são casos não degenerados. Como Dneq0 e A,Cneq0, classificamos:
– Elipse se A e C têm o mesmo sinal.
– Hipérbole se A e C têm sinais opostos.
I. Para lambda>3:
lambda-1>0 e lambda-3>0, logo elipse.
II. Para lambda<1:
lambda-1<0 e lambda-3<0, logo elipse (multiplicando ambos os lados por -1).
III. Para 1<lambda<3 excluindo lambda=2:
lambda-1>0 mas lambda-3<0, logo hipérbole.

Passo 4

Em todo caso não degenerado o centro é (0,0). Falta a reta focal (linha que contém os focos).
Elipses:
– Se lambda>3, escrevemos
(lambda-1)x^2+(lambda-3)y^2=lambda-2 ;Longrightarrow; x^2lambda-2lambda-1 +y^2lambda-2lambda-3=1
Como tfraclambda-2lambda-3>tfraclambda-2lambda-1, o semieixo maior é vertical. Logo a reta focal é
x=0
– Se lambda<1, multiplica-se por -1 e obtemos
(1-lambda)x^2+(3-lambda)y^2=2-lambda ;Longrightarrow; x^22-lambda1-lambda +y^22-lambda3-lambda=1
Aqui tfrac2-lambda1-lambda>tfrac2-lambda3-lambda, o semieixo maior é horizontal. Logo a reta focal é
y=0

Passo 5

Hipérboles ( 1<lambda<3,;lambdaneq2):
Dividindo a equação original por lambda-2, temos
lambda-1lambda-2,x^2+lambda-3lambda-2,y^2=1
– Se 1<lambda<2, lambda-2<0 faz tfraclambda-1lambda-2<0 e tfraclambda-3lambda-2>0. A forma padrão é
-x^2a^2+y^2b^2=1,
transversal vertical. A reta focal é
x=0
– Se 2<lambda<3, lambda-2>0 faz tfraclambda-1lambda-2>0 e tfraclambda-3lambda-2<0. A forma é
x^2a^2-y^2b^2=1,
transversal horizontal. A reta focal é
y=0

Resposta

  • Degeneradas para lambda=1,2,3 (duas retas);
  • Para lambda<1 ou lambda>3: elipse centrada em (0,0), reta focal y=0 se lambda<1 e x=0 se lambda>3;
  • Para 1<lambda<2: hip’erbole centrada em (0,0) com reta focal x=0;
  • Para 2<lambda<3: hip’erbole centrada em (0,0) com reta focal y=0.

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