Classifique, em função de
, as famílias de cônicas abaixo, determinando, nos casos nãodegenerados, o centro e a reta focal:
Passo 1
O enunciado nos dá a família de cônicas
com
. Trata-se de uma cônica centrada (não há termos em
nem em
nem em
). Para classificar vamos usar:
– Os coeficientes das quadráticas são e
.
– O termo independente é .
– Uma cônica é degenerada quando ou (passa a fatorar em retas que se cruzam) ou algum dos coeficientes de
ou
é zero com
(retas paralelas). Caso contrário, é não degenerada e, sendo centrada, é elipse se
e
têm mesmo sinal, e hipérbole se sinais opostos.
– Os coeficientes das quadráticas são
– O termo independente é
– Uma cônica é degenerada quando ou
Passo 2
Determinamos os casos degenerados:
– Se então
e a equação vira
– Se
que fatora em
: duas retas concorrentes
e
.
– Se então
e
, resultando
– Se
duas retas paralelas
.
– Se então
e
, resultando
– Se
duas retas paralelas
.
Passo 3
Agora
são casos não degenerados. Como
e
, classificamos:
– Elipse se e
têm o mesmo sinal.
– Hipérbole se e
têm sinais opostos.
– Elipse se
– Hipérbole se
I. Para
:
e
, logo elipse.
II. Para
:
e
, logo elipse (multiplicando ambos os lados por
).
III. Para
excluindo
:
mas
, logo hipérbole.
Passo 4
Em todo caso não degenerado o centro é
. Falta a reta focal (linha que contém os focos).
Elipses:
– Se , escrevemos
– Se
Como
, o semieixo maior é vertical. Logo a reta focal é
– Se
, multiplica-se por
e obtemos
Aqui
, o semieixo maior é horizontal. Logo a reta focal é
Passo 5
Hipérboles (
):
Dividindo a equação original por , temos
Dividindo a equação original por
– Se
,
faz
e
. A forma padrão é
transversal vertical. A reta focal é
– Se
,
faz
e
. A forma é
transversal horizontal. A reta focal é
Resposta
- Degeneradas para
(duas retas); - Para
ou : elipse centrada em , reta focal se e se ; - Para
: hip’erbole centrada em com reta focal ; - Para
: hip’erbole centrada em com reta focal .