Classifique, em função de , as famílias de cônicas abaixo, determinando, nos casos nãodegenerados, o centro e a reta focal:
Passo 1
O enunciado dá a família de cônicas definida por
onde .
Queremos classificar, segundo , se é elipse, hipérbole, par, degenerada ou imaginária, e nos casos não degenerados identificar o centro e a reta focal. Para isso vamos completar o quadrado em e analisar os coeficientes.
Passo 2
Separe os termos em e e leve tudo para um lado:
Logo, se o primeiro grupo some e a equação vira
que é par de retas paralelas. Portanto
Passo 3
Para , complete o quadrado em :
então a equação fica
Expandindo,
O lado direito mais dá
Logo, para obtemos a forma simplificada
Passo 4
Identifique agora possíveis degenerescências além de lambda=2.
Se lambda=-2, então o coeficiente de y^2 some e de (*) resta
e, como lambda-2<lambda+2, fica a^2>b^2. Logo a elipse tem eixo maior na direção x e a reta focal é
boxedy=0
Se -2<lambda<2 (hipérbole), então lambda-2<0 e lambda+2>0, de modo que a forma padrão é
-(x+1)^2a^2+y^2b^2=1
com a^2=(2-lambda)^-1(lambda-1)^2 e b^2=(lambda+2)^-1(lambda-1)^2. A parte positiva está em y, de modo que a hipérbole tem eixo transverso vertical e a reta focal é
(a) lambda=2: degenerada em duas retas paralelas y=pmtfrac12.
(b) lambda=-2: elipse imaginária (não há pontos reais).
(c) lambda=1: hipérbole degenerada em duas retas concorrentes (x+1)=pmraiz3,y.
(d) lambda>2: elipse real de centro (-1,0) e reta focal y=0.
(e) -2<lambda<2,;lambdaneq1: hipérbole real de centro (-1,0) e reta focal x=-1.