Classifique, em função de lambda in R, as famílias de cônicas abaixo, determinando, nos casos nãodegenerados, o centro e a reta focal:
(lambda-2) x^2+2(lambda-2) x+(lambda+2) y^2=lambda^2-3 lambda+3

Passo 1

O enunciado dá a família de cônicas definida por
(lambda-2),x^2 ;+;2(lambda-2),x;+;(lambda+2),y^2 ;=;lambda^2-3lambda+3,
onde lambdainR.
Queremos classificar, segundo lambda, se é elipse, hipérbole, par, degenerada ou imaginária, e nos casos não degenerados identificar o centro e a reta focal. Para isso vamos completar o quadrado em x e analisar os coeficientes.

Passo 2

Separe os termos em x e y e leve tudo para um lado:
(lambda-2)l(x^2+2xr)+(lambda+2)y^2-l(lambda^2-3lambda+3r)=0
Logo, se lambda=2 o primeiro grupo some e a equação vira
4,y^2=1,
que é par de retas paralelas. Portanto
boxedlambda=2 é de>=nerada (duas retas para<=las) é

Passo 3

Para lambdaneq2, complete o quadrado em x:
x^2+2x=(x+1)^2-1,
então a equação fica
(lambda-2)l((x+1)^2-1r)+(lambda+2)y^2=lambda^2-3lambda+3
Expandindo,
(lambda-2)(x+1)^2-(lambda-2)+(lambda+2)y^2 =lambda^2-3lambda+3
O lado direito mais lambda-2
lambda^2-3lambda+3+(lambda-2) =lambda^2-2lambda+1=(lambda-1)^2
Logo, para lambdaneq2 obtemos a forma simplificada
(lambda-2)(x+1)^2+(lambda+2),y^2=(lambda-1)^2 tag*

Passo 4

Identifique agora possíveis degenerescências além de lambda=2.
  1. Se lambda=-2, então o coeficiente de y^2 some e de (*) resta
    (!-!4)(x+1)^2=(!-3)^2=9 Longrightarrow (x+1)^2=-tfrac94,
    sem solução real. É uma elipse imaginária (vazio real).
  2. Se lambda=1, então o lado direito (lambda-1)^2 vale zero e (*) vira
    -1,(x+1)^2+3,y^2=0 ;Longrightarrow; (x+1)^2=3,y^2,
    que é hipérbole degenerada (duas retas concorrentes).
Portanto lambda=-2 e lambda=1 também dão casos degenerados/imaginários.

Passo 5

Para lambdaneq2,,-2,,1 temos conica não degenerada cuja classificação vem do sinal de
A=lambda-2, C=lambda+2
Calcule AC=(lambda-2)(lambda+2)=lambda^2-4:
  • Se lambda^2-4>0 (isto é vertlambdavert>2) então AC>0 e temos elipse.
    • Mas para lambda<-2 ambos A e C são negativos, e RHS (lambda-1)^2>0 implica LHS não pode ser positiva: elipse imaginária (vazio real).
    • Para lambda>2 ambos são positivos e RHS>0 — elipse real.
  • Se lambda^2-4<0 (isto é -2<lambda<2) então AC<0 e temos hipérbole real.

Passo 6

Nos casos não degenerados e reais ( lambda>2 ou -2<lambda<1 ou 1<lambda<2) o centro está em (x+1)=0,y=0, isto é
boxedCentro: ;( -1,,0 )
Para achar a reta focal (diretriz do eixo principal) note que na forma
(lambda-2)(x+1)^2+(lambda+2)y^2=(lambda-1)^2
o sinal de lambda-2 e de lambda+2 indica qual termo é positivo:
  • Se lambda>2, então lambda-2>0 e lambda+2>0, e ao dividir por (lambda-1)^2 temos
    (x+1)^2a^2+y^2b^2=1,
    com
    a^2=(lambda-1)^2lambda-2, b^2=(lambda-1)^2lambda+2,
    e, como lambda-2<lambda+2, fica a^2>b^2. Logo a elipse tem eixo maior na direção x e a reta focal é
    boxedy=0
  • Se -2<lambda<2 (hipérbole), então lambda-2<0 e lambda+2>0, de modo que a forma padrão é
    -(x+1)^2a^2+y^2b^2=1
    com a^2=(2-lambda)^-1(lambda-1)^2 e b^2=(lambda+2)^-1(lambda-1)^2. A parte positiva está em y, de modo que a hipérbole tem eixo transverso vertical e a reta focal é
    boxedx=-1

Resposta

Para a família
(lambda-2)x^2+2(lambda-2)x+(lambda+2)y^2=lambda^2-3lambda+3:
(a) lambda=2: degenerada em duas retas paralelas y=pmtfrac12.
(b) lambda=-2: elipse imaginária (não há pontos reais).
(c) lambda=1: hipérbole degenerada em duas retas concorrentes (x+1)=pmraiz3,y.
(d) lambda>2: elipse real de centro (-1,0) e reta focal y=0.
(e) -2<lambda<2,;lambdaneq1: hipérbole real de centro (-1,0) e reta focal x=-1.

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