Classifique, em função de lambda in R, as famílias de cônicas abaixo, determinando, nos casos nãodegenerados, o centro e a reta focal:
(lambda^2-1) x^2+2(lambda^2-1)(lambda-1) x+(lambda^2-4) y^2=(lambda-1)^2

Passo 1

O enunciado dá a família de cônicas
(lambda^2-1),x^2 ;+;2(lambda^2-1)(lambda-1),x;+;(lambda^2-4),y^2 ;=;(lambda-1)^2,
e pede a classificação em função de lambda, e, nos casos não degenerados e reais, o centro e as retas focais (diretrizes).

Passo 2

Escrevemos os coeficientes gerais
A=lambda^2-1, B=0, C=lambda^2-4,
e o discriminante
De<a = B^2-4AC = -4(lambda^2-1)(lambda^2-4)
Degeneram ou não têm pontos reais quando lambda=pm1 ou lambda=pm2, pois aí ou A=0 ou C=0 ou a equação fatora em retas ou fica sem solução real.

Passo 3

O sinal de De<a determina o tipo:
  • De<a<0 (ou seja (lambda^2-1)(lambda^2-4)>0) dá elipse (que é real apenas para |lambda|>2; para |lambda|<1 ela é imaginária).
  • De<a>0 ( 1<|lambda|<2) dá hipérbole real.
  • De<a=0 ( lambda=pm1,pm2) degenera.

Passo 4

Para as cônicas centrais (elipses reais e hipérboles) o centro (h,k) vem de anular os termos lineares. Aqui
h=-DA com D=(lambda^2-1)(lambda-1) Longrightarrow h=1-lambda,
e como não há termo em y, temos k=0.
Logo o centro é
(h,k) = (,1-lambda,;0,)

Passo 5

Caso 1<|lambda|<2 (hipérbole real).
Em novo eixo X=x-(1-lambda) e Y=y a equação fica
A,X^2+C,Y^2=lambda^2(1-lambda)^2,
com A>0, C<0. Logo
X^2a^2-Y^2b^2=1, a^2=lambda^2(1-lambda)^2lambda^2-1, b^2=lambda^2(1-lambda)^24-lambda^2
A excentricidade é
e=raiz1+b^2a^2 =raiz34-lambda^2,
e as diretrizes (retas focais) são
X=pmae Longrightarrow x-(1-lambda)=pm,|,lambda(1-lambda),|raizlambda^2-1, raiz4-lambda^23

Passo 6

Caso |lambda|>2 (elipse real).
Nos mesmos deslocamentos X=x-(1-lambda), Y=y obtemos
A,X^2+C,Y^2=lambda^2(1-lambda)^2, A>0,;C>0,
ou seja
X^2b^2+Y^2a^2=1, b^2=lambda^2(1-lambda)^2lambda^2-1, a^2=lambda^2(1-lambda)^2lambda^2-4
Aqui o eixo maior é vertical, a excentricidade é
e=raiz1-b^2a^2 =raiz3lambda^2-1,
e as diretrizes são
Y=pmae Longrightarrow y=pm,|,lambda(1-lambda),|raizlambda^2-4, raizlambda^2-13

Resposta

Para lambda=pm1,pm2: cônica degenerada.
Para |lambda|<1: elipse imaginária (sem pontos reais).
Para 1<|lambda|<2: hipérbole real com
centro (1-lambda,0), diretrizes x-(1-lambda)=pm|,lambda(1-lambda),|raizlambda^2-1raiz4-lambda^23
Para |lambda|>2: elipse real com
centro (1-lambda,0), diretrizes y=pm|,lambda(1-lambda),|raizlambda^2-4raizlambda^2-13

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