Classifique, em função de
, as famílias de cônicas abaixo, determinando, nos casos nãodegenerados, o centro e a reta focal:
Passo 1
O enunciado dá a família de cônicas
e pede a classificação em função de
, e, nos casos não degenerados e reais, o centro e as retas focais (diretrizes).
Passo 2
Escrevemos os coeficientes gerais
e o discriminante
Degeneram ou não têm pontos reais quando
ou
, pois aí ou
ou
ou a equação fatora em retas ou fica sem solução real.
Passo 3
O sinal de
determina o tipo:
-
(ou seja ) dá elipse (que é real apenas para ; para ela é imaginária). -
( ) dá hipérbole real. -
( ) degenera.
Passo 4
Para as cônicas centrais (elipses reais e hipérboles) o centro
vem de anular os termos lineares. Aqui
e como não há termo em
, temos
.
Logo o centro é
Logo o centro é
Passo 5
Caso
(hipérbole real).
Em novo eixo e
a equação fica
Em novo eixo
com
,
. Logo
A excentricidade é
e as diretrizes (retas focais) são
Passo 6
Caso
(elipse real).
Nos mesmos deslocamentos ,
obtemos
Nos mesmos deslocamentos
ou seja
Aqui o eixo maior é vertical, a excentricidade é
e as diretrizes são
Resposta
Para
: cônica degenerada.
Para : elipse imaginária (sem pontos reais).
Para : hipérbole real com
Para
Para
Para
: elipse real com