Classifique, em função do parâmetro , a família de cônicas
encontrando, nos casos não-degenerados, a equação da reta focal de .
Passo 1
O enunciado dá a família de cônicas
e pede (i) classificar em função de e (ii) encontrar, nos casos não-degenerados, a equação da reta que contém os focos (reta focal). Vamos usar (a) o discriminante para distinguir elipse, parábola e hipérbole, (b) o determinante da matriz aumentada para degenerescência, e (c) completamento de quadrados para achar o centro e alinhar os eixos de forma a ver onde ficam as foci.
Passo 2
Escrevendo em forma geral , temos
O discriminante é
Logo
: elipse,
: parábola,
: hipérbole.
Passo 3
Para saber quando a cônica é degenerada, calculamos o determinante
Assim De<a = 0 em lambda = 2 ou lambda^2 - 4lambda + 1 = 0, i.e.\
lambda = 2, lambda = 2 pm raiz3
Nos demais valores de lambda a cônica é não-degenerada.
Se lambda>3, o maior denominador é (lambda-1)^2, a elipse é mais esticada em X e os focos satisfazem Y=0. Em x,y: y=-1
Se 2<lambda<3, o maior denominador é (lambda-1)^2/(lambda-2), a elipse é mais esticada em Y e os focos satisfazem X=0. Em x,y: x+lambda=0 Longrightarrow x=-lambda
Resposta
Para lambda<2 (hipérbole não-degenerada, lambdaneq2-raiz3):
reta focal y=-1.
Para lambda=2: parábola degenerada.
Para 2<lambda<3 (elipse não-degenerada):
reta focal x=-lambda.
Para lambda=3: elipse comum.
Para lambda>3 (elipse não-degenerada, lambdaneq2+raiz3):
reta focal y=-1.