Classifique, em função do parâmetro lambda in R, a família de cônicas
Clambda: x^2+(lambda-2) y^2+2 lambda x+2(lambda-2) y+3 lambda-3=0,
encontrando, nos casos não-degenerados, a equação da reta focal de Clambda.

Passo 1

O enunciado dá a família de cônicas
Clambda:x^2+(lambda-2)y^2+2lambda x+2(lambda-2)y+3lambda-3=0,
e pede (i) classificar em função de lambda e (ii) encontrar, nos casos não-degenerados, a equação da reta que contém os focos (reta focal). Vamos usar (a) o discriminante B^2-4AC para distinguir elipse, parábola e hipérbole, (b) o determinante da matriz aumentada para degenerescência, e (c) completamento de quadrados para achar o centro e alinhar os eixos de forma a ver onde ficam as foci.

Passo 2

Escrevendo em forma geral A x^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0, temos
A=1, B=0, C=lambda-2, D=2lambda, E=2(lambda-2), F=3lambda-3
O discriminante é
De<a0=B^2-4AC=-4(lambda-2)
Logo
  • lambda>2impliesDe<a0<0: elipse,
  • lambda=2impliesDe<a0=0: parábola,
  • lambda<2impliesDe<a0>0: hipérbole.

Passo 3

Para saber quando a cônica é degenerada, calculamos o determinante
De<a = det 1 & 0 & lambda 0 & lambda - 2 & lambda - 2 lambda & lambda - 2 & 3lambda - 3 = (lambda - 2) l(-lambda^2 + 4lambda - 1r)
Assim De<a = 0 em lambda = 2 ou lambda^2 - 4lambda + 1 = 0, i.e.\
lambda = 2, lambda = 2 pm raiz3
Nos demais valores de lambda a cônica é não-degenerada.

Passo 4

Para lambdaneq2 completamos quadrados:
x^2+2lambda x=(x+lambda)^2-lambda^2, (lambda-2)y^2+2(lambda-2)y=(lambda-2)(y+1)^2-(lambda-2)
Substituindo e reorganizando obtém-se em (X,Y)=(x+lambda,y+1)
X^2+(lambda-2)Y^2=(lambda-1)^2,
que é a forma canônica com eixos alinhados aos eixos X,Y. O centro está em (x,y)=(-lambda,-1).

Passo 5

Caso lambda < 2 (hipérbole não-degenerada, excluindo lambda = 2 - raiz3):
X^2 - l(2 - lambdar) Y^2 = (lambda - 1)^2,
é hipérbole transversa ao longo de X. Os focos estão sobre o eixo X, i.e.\ em Y = 0. Voltando a x,y, a reta focal é
y + 1 = 0 Longrightarrow y = -1

Passo 6

Caso lambda>2 (elipse não-degenerada, excluindo lambda=2+raiz3):
X^2(lambda-1)^2+Y^2(lambda-1)^2/(lambda-2)=1
Comparamos
(lambda-1)^2;>r<=ss;(lambda-1)^2lambda-2 Long<=ftrightarrow lambda-2;>r<=ss;1 Long<=ftrightarrow lambda;>r<=ss;3
  • Se lambda>3, o maior denominador é (lambda-1)^2, a elipse é mais esticada em X e os focos satisfazem Y=0. Em x,y: y=-1
  • Se 2<lambda<3, o maior denominador é (lambda-1)^2/(lambda-2), a elipse é mais esticada em Y e os focos satisfazem X=0. Em x,y: x+lambda=0 Longrightarrow x=-lambda

Resposta

Para lambda<2 (hipérbole não-degenerada, lambdaneq2-raiz3):
reta focal y=-1.
Para lambda=2: parábola degenerada.
Para 2<lambda<3 (elipse não-degenerada):
reta focal x=-lambda.
Para lambda=3: elipse comum.
Para lambda>3 (elipse não-degenerada, lambdaneq2+raiz3):
reta focal y=-1.

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