Determine a equação da parábola P que tem:
reta focal paralela ao eixo O X e passa pelos pontos (-2,1),(1,2) e (-1,3).

Passo 1

O enunciado pede a parábola P cuja diretriz é vertical (pois a reta focal – isto é, o eixo da parábola – é paralela a OX), e que passa pelos pontos (-2,1), (1,2) e (-1,3).
Conteúdo: parábola com eixo horizontal, cuja forma canônica é
(y - k)^2 ;=; 4p,(x - h),
em que (h,k) é o vértice e p mede a distância foco-diretriz.

Passo 2

Substituímos cada ponto em (y - k)^2 = 4p(x - h), gerando três equações:
(1 - k)^2 = 4pl(-2 - hr), tag1
(2 - k)^2 = 4pl(1 - hr), tag2
(3 - k)^2 = 4pl(-1 - hr) tag3

Passo 3

Fazemos (2)-(1) e (3)-(1) para eliminar h:
(2 - k)^2 - (1 - k)^2 = 4pl[(1 - h)-(-2 - h)r] = 12p, tagi
(3 - k)^2 - (1 - k)^2 = 4pl[(-1 - h)-(-2 - h)r] = 4p tagii

Passo 4

Calculamos as diferenças de quadrados em (i) e (ii):
(2 - k)^2 - (1 - k)^2 = (1),(3-2k)=3-2k, (3 - k)^2 - (1 - k)^2 = 2,(4-2k)=8-4k
Logo de (i):
3 - 2k = 12p,
e de (ii):
8 - 4k = 4p
Da segunda vem p = 2 - k. Substituindo em 3-2k=12p
3 - 2k = 12(2 - k);Longrightarrow;3 - 2k = 24 -12k;Longrightarrow;10k = 21;Longrightarrow;k = tfrac2110,
p = 2 - tfrac2110 = -tfrac110

Passo 5

Para achar h, usamos a equação (2):
(2 - k)^2 = 4p,(1 - h) ;Longrightarrow;l(2 - tfrac2110r)^2 = 4l(-tfrac110r)(1 - h) ;Longrightarrow;0,01 = -0,4,(1 - h)
Longrightarrow;1 - h = -0,025 ;Longrightarrow;h = 1,025 = tfrac4140

Passo 6

Substituindo (h,k,p)=l(tfrac4140,,tfrac2110,,-tfrac110r) na forma canônica, obtemos
l(y - tfrac2110r)^2 ;=;4l(-tfrac110r)l(x - tfrac4140r) ;Long<=ftrightarrow; l(y - tfrac2110r)^2 ;=;-tfrac25,l(x - tfrac4140r)

Resposta

boxed,(y - tfrac2110)^2 = -tfrac25,l(x - tfrac4140r),

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