Seja P uma parábola tal que L: x+2 y=4 é a sua diretriz, ell cap L=(2,1) e d(F, L)=2 raiz5, onde ell é a sua reta focal e F é o seu foco. Determine as equações, os vértices, os focos e as retas focais das parábolas que satisfazem às condições acima.

Passo 1

O enunciado trata de parábolas definidas pela condição “distância ao foco igual à distância à diretriz”. A diretriz é
L: x + 2y = 4
e sua reta focal (eixo de simetria) ell passa por
A = ell cap L = (2,1)
e é perpendicular a L. O foco F está sobre ell e satisfaz
d(F,L) = 2raiz5
Vamos então (1) encontrar a equação de ell, (2) achar as possíveis coordenadas de F, (3) determinar os vértices e (4) escrever as equações das parábolas.

Passo 2

A reta L tem vetor normal (1,2), logo seu coeficiente angular é -tfrac12. Uma reta perpendicular a ela tem coeficiente angular 2. Como ell passa por (2,1),
ell: y - 1 = 2(x - 2),
ou seja
ell:;y = 2x - 3

Passo 3

Para F=(x,y) sobre ell vale y=2x-3. Além disso
d(F,L) ;=;l|x + 2y -4r|raiz1^2+2^2 ;=;2raiz5
Isto dá l|x+2y-4r| = 10. Substituindo y=2x-3 em x+2y-4 resulta
x + 2(2x-3) -4 = 5x -10 = pm 10
Se 5x-10=10 então x=4 e y=2cdot4-3=5. Se 5x-10=-10 então x=0 e y=-3. Logo os dois focos possíveis são
F1 = (4,5), F2 = (0,-3)

Passo 4

O vértice V de cada parábola é o ponto médio entre o foco F e sua projeção Q sobre a diretriz. Mas como ell é perpendicular a L, a projeção dos dois focos em L é sempre o ponto A=(2,1). Assim
V1 = l(tfrac4+22,;tfrac5+12r)=(3,3), V2 = l(tfrac0+22,;tfrac-3+12r)=(1,-1)

Passo 5

A equação canônica de cada parábola vem de
raiz(x - xF)^2 + (y - yF)^2 ;=; l|x+2y-4r|raiz5,
ao elevar ao quadrado. Para F1=(4,5) temos
5l[(x-4)^2+(y-5)^2r] = (x+2y-4)^2 ;Longrightarrow; 4x^2 -4xy +y^2 -32x -34y +189 = 0
Para F2=(0,-3) obtemos
5l[x^2+(y+3)^2r] = (x+2y-4)^2 ;Longrightarrow; 4x^2 -4xy +y^2 +8x +46y +29 = 0

Resposta

Parábola 1
Foco F1=(4,5), vértice V1=(3,3), eixo ell: y=2x-3, equação
4x^2 -4xy +y^2 -32x -34y +189 = 0
Parábola 2
Foco F2=(0,-3), vértice V2=(1,-1), eixo ell: y=2x-3, equação
4x^2 -4xy +y^2 +8x +46y +29 = 0

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