Seja uma parábola tal que é a sua diretriz, e , onde é a sua reta focal e é o seu foco. Determine as equações, os vértices, os focos e as retas focais das parábolas que satisfazem às condições acima.
Passo 1
O enunciado trata de parábolas definidas pela condição “distância ao foco igual à distância à diretriz”. A diretriz é
e sua reta focal (eixo de simetria) passa por
e é perpendicular a . O foco está sobre e satisfaz
Vamos então (1) encontrar a equação de , (2) achar as possíveis coordenadas de , (3) determinar os vértices e (4) escrever as equações das parábolas.
Passo 2
A reta tem vetor normal , logo seu coeficiente angular é . Uma reta perpendicular a ela tem coeficiente angular . Como passa por ,
ou seja
Passo 3
Para sobre vale . Além disso
Isto dá l|x+2y-4r| = 10. Substituindo y=2x-3 em x+2y-4 resulta
x + 2(2x-3) -4 = 5x -10 = pm 10
Se 5x-10=10 então x=4 e y=2cdot4-3=5. Se 5x-10=-10 então x=0 e y=-3. Logo os dois focos possíveis são
F1 = (4,5), F2 = (0,-3)
Passo 4
O vértice V de cada parábola é o ponto médio entre o foco F e sua projeção Q sobre a diretriz. Mas como ell é perpendicular a L, a projeção dos dois focos em L é sempre o ponto A=(2,1). Assim