Classifique, em função de a in R, a quádrica Qa dada pela equação de segundo grau:
x^2+2 y^2+a z^2+2(a+2) x+4(a-1) y+2 z+3 a^2=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar, em função de ainR, a superfície quádric-a
x^2+2y^2+a,z^2+2(a+2)x+4(a-1)y+2z+3a^2=0
O método será completar quadrados para reduzir à forma canônica e, em seguida, usar o sinal dos coeficientes quadráticos e da constante resultante para identificar o tipo de quádric-a.

Passo 2

Assumimos primeiro aneq0 e completamos quadrados em x,y,z.
Para x:
x^2+2(a+2)x=(x+(a+2))^2-(a+2)^2
Para y:
2y^2+4(a-1)y =2l(y+(a-1)r)^2-2(a-1)^2
Para z:
a,z^2+2z =al(z+tfrac1ar)^2-acdottfrac1a^2 =al(z+tfrac1ar)^2-tfrac1a
Substituindo na equação original e somando o 3a^2, obtemos
(x+(a+2))^2 +2l(y+(a-1)r)^2 +al(z+tfrac1ar)^2 -l[(a+2)^2+2(a-1)^2+tfrac1a-3a^2r]=0
Um cálculo fácil mostra que o termo entre colchetes é 6+tfrac1a com sinal trocado, de modo que

Passo 3

Definindo
R=6+tfrac1a,
a forma reduzida fica
(X)^2 +2(Y)^2 +a,(Z)^2 =R,
onde X=x+(a+2), Y=y+(a-1), Z=z+tfrac1a.
Agora a classificação depende dos sinais de a e de R.

Passo 4

Caso a>0:
Todos os coeficientes quadráticos são positivos e R=6+1/a>0.
Logo é um elipsoide (superfície fechada e limitada).
Caso a<0:
Escrevemos a=-|a|. Então a forma é
X^2+2Y^2-|a|,Z^2=R
– Se R>0 (isto é, 6+tfrac1a>0iff a<-tfrac16), temos
X^2R+2Y^2R-|a|Z^2R=1,
que é hiperbolóide de uma folha.
– Se R<0 (isto é, -tfrac16<a<0), então
|a|Z^2-R-X^2-R-2Y^2-R=1,
que é hiperbolóide de duas folhas.
– Se R=0 (isto é, a=-tfrac16), a equação vira
X^2+2Y^2-tfrac16,Z^2=0,
que é um cono duplo (superfície cônica degenerada).

Passo 5

Caso a=0:
A equação original reduz-se a
x^2+2y^2+4x-4y+2z=0
Completando quadrados em x e y obtém-se
(x+2)^2+2(y-1)^2+2z-6=0 Longrightarrow z=3-tfrac(x+2)^22-(y-1)^2,
que é um paraboloide elíptico (aberto num sentido de z).

Resposta

Para a quádric-a Qa:
- a>0: elipsoide.
- a=0: paraboloide elíptico.
- -tfrac16<a<0: hiperbolóide de duas folhas.
- a=-tfrac16: cono duplo.
- a<-tfrac16: hiperbolóide de uma folha.

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