Classifique, em função de
, a quádrica
dada pela equação de segundo grau:
Passo 1
O enunciado pede para classificar, em função de
, a superfície quádric-a
O método será completar quadrados para reduzir à forma canônica e, em seguida, usar o sinal dos coeficientes quadráticos e da constante resultante para identificar o tipo de quádric-a.
Passo 2
Assumimos primeiro
e completamos quadrados em
.
Para :
Para
Para
:
Para
:
Substituindo na equação original e somando o
, obtemos
Um cálculo fácil mostra que o termo entre colchetes é
com sinal trocado, de modo que
Passo 3
Definindo
a forma reduzida fica
onde
,
,
.
Agora a classificação depende dos sinais de e de
.
Agora a classificação depende dos sinais de
Passo 4
Caso
:
Todos os coeficientes quadráticos são positivos e .
Logo é um elipsoide (superfície fechada e limitada).
Todos os coeficientes quadráticos são positivos e
Logo é um elipsoide (superfície fechada e limitada).
Caso
:
Escrevemos . Então a forma é
Escrevemos
– Se
(isto é,
), temos
que é hiperbolóide de uma folha.
– Se
(isto é,
), então
que é hiperbolóide de duas folhas.
– Se
(isto é,
), a equação vira
que é um cono duplo (superfície cônica degenerada).
Passo 5
Caso
:
A equação original reduz-se a
A equação original reduz-se a
Completando quadrados em
e
obtém-se
que é um paraboloide elíptico (aberto num sentido de
).
Resposta
Para a quádric-a
:
- : elipsoide.
- : paraboloide elíptico.
- : hiperbolóide de duas folhas.
- : cono duplo.
- : hiperbolóide de uma folha.
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