Reduza a equação do segundo grau a sua forma canônica, classifique a quádrica Qi e determine seu eixo, para i in1,2,3,4,5, onde:
Q5: x^2+4 y z+x=0

Passo 1

O enunciado pede para a quádrica
Q5:;x^2+4,y,z+x=0
ser reduzida à forma canônica, classificada e ter seus eixos principais determinados. Vamos usar os procedimentos padrão de translação (para completar quadrados em x) e rotação (para diagonalizar o termo misto 4yz).

Passo 2

Complete o quadrado no termo em x:
x^2+x = l(x+tfrac12r)^2 - tfrac14
Substituindo na equação original, obtemos
l(x+tfrac12r)^2 - tfrac14 +4,y,z = 0 Longrightarrow l(x+tfrac12r)^2 +4,y,z = tfrac14

Passo 3

Faça a translação
X = x+tfrac12, Y=y, Z=z
Em (X,Y,Z) a equação fica
X^2+4,Y,Z = tfrac14

Passo 4

Para eliminar o termo misto 4YZ, faça a rotação no plano YZ:
U = Y+Zraiz2, V = Y-Zraiz2
Note que
4,Y,Z = 2l(U^2-V^2r)
Logo a equação em (X,U,V) é
X^2 +2l(U^2-V^2r) = tfrac14

Passo 5

Multiplique tudo por 4 para clarear o sinal de cada termo:
4,X^2 +8,U^2 -8,V^2 = 1
Aqui temos dois quadrados com coeficiente positivo e um com coeficiente negativo, igual a uma constante positiva. Isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha. O centro da quádric é o ponto de translação
(-tfrac12,,0,,0)
no sistema original (x,y,z).

Passo 6

Os eixos principais são as direções dos autovetores da forma quadrática diagonalizada. Em coordenadas originais, passando de (X,U,V) de volta a (x,y,z), eles são:
eX = (1,0,0), eU = l(0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r), eV = l(0,tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r)
Cada eixo principal é a reta que passa pelo centro l(-tfrac12,0,0r) na direção de um desses vetores.

Resposta

Forma canônica em coordenadas (X,U,V):
4,X^2 +8,U^2 -8,V^2 = 1
Classificação: hiperbolóide de uma folha com centro em l(-tfrac12,0,0r).
Eixos principais: retas que passam por l(-tfrac12,0,0r) e são paralelas a
(1,0,0), (0,1,1), (0,1,-1)
(estas últimas proporcionais a eU e eV).

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