Reduza a equação do segundo grau a sua forma canônica, classifique a quádrica
e determine seu eixo, para
, onde:
Passo 1
O enunciado pede para a quádrica
ser reduzida à forma canônica, classificada e ter seus eixos principais determinados. Vamos usar os procedimentos padrão de translação (para completar quadrados em
) e rotação (para diagonalizar o termo misto
).
Passo 2
Complete o quadrado no termo em
:
Substituindo na equação original, obtemos
Passo 3
Faça a translação
Em
a equação fica
Passo 4
Para eliminar o termo misto
, faça a rotação no plano
:
Note que
Logo a equação em
é
Passo 5
Multiplique tudo por 4 para clarear o sinal de cada termo:
Aqui temos dois quadrados com coeficiente positivo e um com coeficiente negativo, igual a uma constante positiva. Isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha. O centro da quádric é o ponto de translação
no sistema original
.
Passo 6
Os eixos principais são as direções dos autovetores da forma quadrática diagonalizada. Em coordenadas originais, passando de
de volta a
, eles são:
Cada eixo principal é a reta que passa pelo centro
na direção de um desses vetores.
Resposta
Forma canônica em coordenadas
:
Classificação: hiperbolóide de uma folha com centro em
.
Eixos principais: retas que passam por e são paralelas a
Eixos principais: retas que passam por
(estas últimas proporcionais a
e
).