Reduza a equação do segundo grau a sua forma canônica, classifique a quádrica Qi e determine seu eixo, para i in1,2,3,4,5, onde:
Q4: x^2+4 y^2+z^2+4 x y+z=0

Passo 1

O enunciado pede para reduzir a quadricá
x^2+4y^2+z^2+4xy+z=0
à sua forma canônica, classificá-la e determinar seu eixo. Vamos completar quadrados em x,y e em z.

Passo 2

Agrupando os termos em x e y:
x^2+4xy+4y^2 = (x+2y)^2
Substituindo na equação original:
(x+2y)^2 + z^2 + z = 0

Passo 3

Para o termo em z completamos o quadrado:
z^2+z = l(z+tfrac12r)^2 - tfrac14
Logo a equação vira
(x+2y)^2 + l(z+tfrac12r)^2 - tfrac14 = 0 Longrightarrow (x+2y)^2 + l(z+tfrac12r)^2 = tfrac14

Passo 4

Definimos novas variáveis lineares
u = x+2y, w = z+tfrac12,
e notamos que não há nenhum termo envolvendo uma terceira coordenada v (por exemplo v=2x-y fica livre). Assim, na base (u,v,w) a forma canônica é
u^2 + w^2 = tfrac14,
sem dependência de v.

Passo 5

A equação
u^2 + w^2 = tfrac14
é a de um cilindro circular de raio tfrac12 cujo eixo é paralelo ao eixo v. Voltando ao sistema (x,y,z), o eixo corresponde à interseção dos planos
x+2y = 0, z + tfrac12 = 0,
ou seja, à reta
(x,y,z)mid x+2y=0,;z=-tfrac12

Resposta

Forma canônica:
u^2 + w^2 = tfrac14,
com u = x+2y e w = z + tfrac12.
Classificação: cilindro circular de raio tfrac12.
Eixo: reta dada por x+2y=0, z=-tfrac12.

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