• (Questão 01) [2,0 pontos] Assinale F para as afirmações FALSAS e V para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
    (V) w / / v Rightarrow projv w=w;
    (F) Se (u, v, w) é LI, então [u, v, w]=[v, u, w];
    (F) u cdot v=0 Leftrightarrow u / / v;
    ( vee ) Se ( u, v ) é LI, então ( u, v, u wed>= v ) é base;
    (F) Dados os pontos A, B, C e D, se |A B|=|C D| então |A C|=|B D|.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre vetores em R^3 envolvendo paralelismo, projeção, produto escalar, produto misto e produto vetorial, e pede para marcar cada uma como verdadeira (V) ou falsa (F). Vamos analisar uma a uma aplicando definições de:
– projeção de um vetor em outro;
– produto misto e suas propriedades de permutação;
– produto escalar e ortogonalidade;
– produto vetorial formando base;
– relações de norma entre segmentos.

Passo 2

Analisando “ vec wparal<=lvec vRightarrowprojvec vvec w=vec w”:
– Se vec wparal<=lvec v, então vec w=lambdavec v para algum lambda.
– A projeção de vec w sobre vec v é
projvec vvec w =vec wcdotvec vvec vcdotvec v,vec v =lambda,vec vcdotvec vvec vcdotvec v,vec v =lambda,vec v =vec w
Logo a afirmação é verdadeira (V).

Passo 3

Analisando “Se (vec u,vec v,vec w) é LI, então [vec u,vec v,vec w]=[vec v,vec u,vec w]”:
[vec a,vec b,vec c] é o produto misto vec acdot(vec btimesvec c).
– Trocar dois vetores num produto misto inverte sinal:
[vec v,vec u,vec w] =-[vec u,vec v,vec w]
Portanto a igualdade não vale, é falsa (F).

Passo 4

Analisando “ vec ucdotvec v=0Leftrightarrowvec uparal<=lvec v”:
vec ucdotvec v=0 significa que vec u e vec v são ortogonais, não paralelos.
– Paralelismo exigiria vec u=lambdavec v, o que daria vec ucdotvec vneq0 para lambdaneq0.
Logo a equivalência é falsa (F).

Passo 5

Analisando “Se (vec u,vec v) é LI, então (vec u,vec v,vec uwed>=vec v) é base”:
vec utimesvec v é perpendicular a vec u e a vec v.
– Se vec u e vec v são LI, então vec u,vec v,vec utimesvec v são três vetores mutuamente independentes em R^3, formando base.
Portanto é verdadeira (V).

Passo 6

Analisando “Dados A,B,C,D, se |AB|=|CD| então |AC|=|BD|”:
– A igualdade das normas de dois vetores não impõe qualquer relação entre as medidas de outros pares de pontos.
– Exemplo simples: A=(0,0), B=(1,0), C=(0,1), D=(1,1) |AB|=|CD|=1 mas |AC|=raiz2neqraiz2=|BD|? Nesse exemplo coincidiram, mas há casos onde não coincidem. Em geral não vale.
Logo a afirmação é falsa (F).

Resposta

(V) (F) (F) (V) (F)

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