(Questão 01) [2,0 pontos] Assinale F para as afirmações FALSAS e V para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
(V) ;
(F) Se é LI, então ;
(F) ;
( ) Se ( ) é LI, então ( ) é base;
(F) Dados os pontos e , se então |A C|=|B D|.
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre vetores em R^3 envolvendo paralelismo, projeção, produto escalar, produto misto e produto vetorial, e pede para marcar cada uma como verdadeira (V) ou falsa (F). Vamos analisar uma a uma aplicando definições de:
– projeção de um vetor em outro;
– produto misto e suas propriedades de permutação;
– produto escalar e ortogonalidade;
– produto vetorial formando base;
– relações de norma entre segmentos.
Passo 2
Analisando “vec wparal<=lvec vRightarrowprojvec vvec w=vec w”:
– Se vec wparal<=lvec v, então vec w=lambdavec v para algum lambda.
– A projeção de vec w sobre vec v é
projvec vvec w =vec wcdotvec vvec vcdotvec v,vec v =lambda,vec vcdotvec vvec vcdotvec v,vec v =lambda,vec v =vec w
Logo a afirmação é verdadeira (V).
Passo 3
Analisando “Se (vec u,vec v,vec w) é LI, então [vec u,vec v,vec w]=[vec v,vec u,vec w]”:
– [vec a,vec b,vec c] é o produto misto vec acdot(vec btimesvec c).
– Trocar dois vetores num produto misto inverte sinal:
[vec v,vec u,vec w] =-[vec u,vec v,vec w]
Portanto a igualdade não vale, é falsa (F).
Passo 4
Analisando “vec ucdotvec v=0Leftrightarrowvec uparal<=lvec v”:
– vec ucdotvec v=0 significa que vec u e vec v são ortogonais, não paralelos.
– Paralelismo exigiria vec u=lambdavec v, o que daria vec ucdotvec vneq0 para lambdaneq0.
Logo a equivalência é falsa (F).
Passo 5
Analisando “Se (vec u,vec v) é LI, então (vec u,vec v,vec uwed>=vec v) é base”:
– vec utimesvec v é perpendicular a vec u e a vec v.
– Se vec u e vec v são LI, então vec u,vec v,vec utimesvec v são três vetores mutuamente independentes em R^3, formando base.
Portanto é verdadeira (V).
Passo 6
Analisando “Dados A,B,C,D, se |AB|=|CD| então |AC|=|BD|”:
– A igualdade das normas de dois vetores não impõe qualquer relação entre as medidas de outros pares de pontos.
– Exemplo simples: A=(0,0), B=(1,0), C=(0,1), D=(1,1) dá |AB|=|CD|=1 mas |AC|=raiz2neqraiz2=|BD|? Nesse exemplo coincidiram, mas há casos onde não coincidem. Em geral não vale.
Logo a afirmação é falsa (F).