Classifique as funções abaixo como crescentes, decrescentes, constantes ou nenhuma delas em seus domínios naturais:
Justifique. g(x)=(x-2)^{2}
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique a função g(x)=(x-2)^{2} como crescente, decrescente, constante ou nenhuma delas, considerando o seu domínio natural.
Informações dadas:
A função é g(x)=(x-2)^{2}.
Domínio natural (a determinar): todos os x para os quais a expressão está bem definida.
Passo 2
Determinar o domínio natural. A expressão (x-2)^{2} é um polinômio em x, que está definido para todo número real. Portanto o domínio natural é
\mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}.
Passo 3
Vou usar a derivada para estudar monotonicidade (isso é um procedimento padrão e prático). Primeiro, o que significa usar a derivada para isso? Regra intuitiva e útil:
Se g'(x)>0 para todo x em um intervalo, então g é estritamente crescente nesse intervalo.
Se g'(x)<0 para todo x em um intervalo, então g é estritamente decrescente nesse intervalo.
Se g'(x)=0 em pontos isolados isso só indica pontos críticos (mínimos, máximos ou platôs), e é preciso analisar ao redor desses pontos.
A derivada representa a inclinação da reta tangente; o sinal da inclinação diz se a função sobe ou desce localmente.
Passo 4
Calcular a derivada de g\). Usando a regra do poder:
\[g(x)=(x-2)^{2}\quad\Rightarrow\quad g'(x)=2(x-2).
Logo, a derivada é negativa para x<2\] e positiva para \(x>2. Pelo critério da derivada, isso significa que g é estritamente decrescente em qualquer intervalo contido em (-\infty,2) e estritamente crescente em qualquer intervalo contido em (2,\infty).]
Passo 5
Tratar o ponto x=2. Avaliando a função:
g(2)=(2-2)^{2}=0,
que é o valor mínimo (visto que quadrado é sempre não negativo). O fato de g'(2)=0 indica um ponto crítico; como a função passa de decrescente para crescente em x=2, x=2 é mínimo global.
Isso permite afirmar também que, no sentido não estrito,
g\text{ é não crescente (decrescente fraco) em }(-\infty,2] \quad\text{e}\quad g\text{ é não decrescente (crescente fraco) em }[2,\infty).éãéã
Passo 6
Uma prova alternativa sem cálculo (intuitiva, usando distância ao vértice): escrevendo g(x)=(x-2)^{2}, para x<2 temos 2-x>0 e, se x_1<x_2<2, então 2-x_1>2-x_2>0 e assim (x_1-2)^{2}=(2-x_1)^{2}>(2-x_2)^{2}=(x_2-2)^{2}. Isso mostra diretamente que g(x_1)>g(x_2) quando x_1<x_2<2, ou seja, decresce estritamente em (-\infty,2). De modo análogo, para x>2 a distância |x-2| aumenta com x, mostrando que g cresce estritamente em (2,\infty).
Passo 7
Conclusão final (síntese): a função tem comportamento monotônico diferente em metades do domínio e, por isso, não é globalmente crescente, nem globalmente decrescente, nem constante em todo \mathbb{R}. Entretanto ela é decrescente à esquerda do ponto 2 e crescente à direita dele, com mínimo em x=2.
Resposta
Decrescente em (-\infty,2).
Crescente em (2,\infty).
Não é crescente nem decrescente nem constante em todo o domínio \mathbb{R}.