Classifique a integral (l) integral0^1 1raiz1-x d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para classificar a integral . Isso significa que vamos resolver uma integral definida, ou seja, calcular a área sob a curva dessa função entre 0 e 1. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente técnicas de integração que envolvem raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função que queremos integrar: . Ela tem uma raiz quadrada no denominador, o que pode parecer complicado à primeira vista, mas com uma substituição simples, conseguimos simplificar a integral. Vamos fazer uma mudança de variável para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos usar a substituição du = -dx Rightarrow dx = -du . Com isso, precisamos encontrar em termos de :
Agora, vamos mudar os limites de integração conforme a substituição:
  • Quando ,
  • Quando ,

Passo 4

Substituindo na integral original, teremos:
integral0^1 1raiz1-x , dx = integral1^0 1raizu cdot (-du) = integral0^1 1raizu , du
Note que invertendo os limites de integração, o sinal negativo desaparece.

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples:
integral0^1 1raizu , du
Sabemos que integral u^n , du = u^n+1n+1 + C onde n neq -1 . Vamos integrar usando a regra de potência para integrais:
integral u^-1/2 , du = u^1/21/2 + C = 2u^1/2 + C = 2raizu + C
Aqui, , então:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
[ 2raizu ]0^1 = 2raiz1 - 2raiz0 = 2(1) - 2(0) = 2 - 0 = 2

Resposta

A integral vale 2.

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