Determine e esboce o domínio e a imagem das funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar e desenhar o domínio e a imagem da função
. Para isso, vamos precisar entender como funcionam os domínios e imagens de funções com duas variáveis, além de saber lidar com raízes quadradas e frações. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio são todos os pares
que fazem o valor da função ser válido. Para a nossa função, temos duas coisas para garantir:
- O denominador não pode ser zero:
. - O que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero:
.
Passo 3
Vamos resolver a primeira condição:
Isso significa que:
Então,
não pode ser nem 1 nem -1.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda condição:
Isso significa que
tem que ser pelo menos igual a
. Geometricamente,
é uma parábola que abre para cima, então
está acima dessa curva.
Passo 5
Juntando as duas condições, o domínio da função é o conjunto de todos os pontos
onde:
-
-
e
Ou seja, todo ponto acima ou na parábola
, exceto quando
for 1 ou -1.
Passo 6
Agora, vamos determinar a imagem da função, que são todos os possíveis valores que
pode assumir dentro do domínio que encontramos.
Olha só a função de novo:
Para encontrar a imagem, pensamos nos valores que esse quociente pode dar, considerando as restrições do domínio.
Passo 7
Vamos analisar os possíveis valores:
- Numerador:
sempre será um número real não negativo, já que . - Denominador:
pode ser positivo ou negativo, dependendo de .
Então, a função pode assumir valores positivos ou negativos, dependendo do sinal do denominador.
Passo 8
Para entender melhor, vamos considerar dois casos:
- Quando
: Isso acontece quando . Então, o denominador é positivo, e o valor da função será não negativo. - Quando
: Isso acontece quando , mas lembrando que não pode ser exatamente 1 ou -1. Nesse caso, o denominador é negativo, e o valor da função será não positivo.
Passo 9
Portanto, a imagem da função
abrange todos os números reais, exceto possivelmente zero, dependendo dos valores de
e
. A função pode assumir qualquer valor real positivo ou negativo dentro das restrições do domínio.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
onde
e
nem
. A imagem da função abrange todos os números reais, podendo assumir qualquer valor positivo ou negativo dentro dessas condições.