Determine e esboce o domínio e a imagem das funções. f(x, y) = raiz(y - x^2) / (1 - x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar e desenhar o domínio e a imagem da função . Para isso, vamos precisar entender como funcionam os domínios e imagens de funções com duas variáveis, além de saber lidar com raízes quadradas e frações. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio são todos os pares que fazem o valor da função ser válido. Para a nossa função, temos duas coisas para garantir:
  1. O denominador não pode ser zero: .
  2. O que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero: .

Passo 3

Vamos resolver a primeira condição:
Isso significa que:
Então, não pode ser nem 1 nem -1.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda condição:
Isso significa que tem que ser pelo menos igual a . Geometricamente, é uma parábola que abre para cima, então está acima dessa curva.

Passo 5

Juntando as duas condições, o domínio da função é o conjunto de todos os pontos onde:
  1. e
Ou seja, todo ponto acima ou na parábola , exceto quando for 1 ou -1.

Passo 6

Agora, vamos determinar a imagem da função, que são todos os possíveis valores que pode assumir dentro do domínio que encontramos.
Olha só a função de novo:
Para encontrar a imagem, pensamos nos valores que esse quociente pode dar, considerando as restrições do domínio.

Passo 7

Vamos analisar os possíveis valores:
  • Numerador: sempre será um número real não negativo, já que .
  • Denominador: pode ser positivo ou negativo, dependendo de .
Então, a função pode assumir valores positivos ou negativos, dependendo do sinal do denominador.

Passo 8

Para entender melhor, vamos considerar dois casos:
  1. Quando : Isso acontece quando . Então, o denominador é positivo, e o valor da função será não negativo.
  2. Quando : Isso acontece quando , mas lembrando que não pode ser exatamente 1 ou -1. Nesse caso, o denominador é negativo, e o valor da função será não positivo.

Passo 9

Portanto, a imagem da função abrange todos os números reais, exceto possivelmente zero, dependendo dos valores de e . A função pode assumir qualquer valor real positivo ou negativo dentro das restrições do domínio.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos onde e nem . A imagem da função abrange todos os números reais, podendo assumir qualquer valor positivo ou negativo dentro dessas condições.

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