e pede para classificá‑la (por exemplo: matriz linha, coluna, nula, identidade, diagonal, etc.). Vou listar claramente o que me pediram:
Identificar o tamanho/forma da matriz (linha, coluna, quadrada).
Verificar se é matriz nula.
Verificar se é matriz identidade.
Verificar se é diagonal, escalar (múltipla da identidade), simétrica, invertível, entre outras classificações usuais.]
Passo 2
Determinar a dimensão e se é matriz linha/coluna/quadrada.
Definição rápida (sem jargões):
“Matriz linha” tem apenas uma linha (tamanho 1\times n).
“Matriz coluna” tem apenas uma coluna (tamanho m\times 1).
“Matriz quadrada” tem mesmo número de linhas e colunas (n\times n).
Aqui a matriz A tem duas linhas e duas colunas, então é uma matriz quadrada de ordem 2: \,A\in\mathbb{R}^{2\times2}\,. Portanto não é matriz linha nem coluna.
Passo 3
Verificar se é matriz nula (todas as entradas iguais a zero).
Definição: a matriz nula 0 tem todas as entradas iguais a 0.
Observação das entradas de A:
Como nem todas as entradas são zero (por exemplo A_{11}=2), a matriz não é a matriz nula.
Passo 4
Verificar se é diagonal.
Definição: uma matriz é diagonal se todas as entradas fora da diagonal principal forem zero, ou seja, A_{ij}=0 sempre que i\neq j.
Aqui A_{12}=0 e A_{21}=0 (as entradas fora da diagonal são zero), e os elementos da diagonal principal são A_{11}=2 e A_{22}=2. Portanto A é uma matriz diagonal.
Passo 5
Verificar se é matriz identidade e se é múltipla da identidade.
Definição: a matriz identidade I_2 é
Comparando, os elementos da diagonal de A valem 2, não 1. Logo A não é a matriz identidade.
No entanto, perceba que cada entrada da diagonal de A é 2 vezes a correspondente de I_2. Assim podemos escrever
A=2I_2.
Uma matriz da forma \lambda I_n (com \lambda\in\mathbb{R}) é chamada de matriz escalar ou múltipla da identidade. Portanto A é uma matriz escalar (múltipla da identidade) com \lambda=2.]
Passo 6
Verificar invertibilidade (matriz singular ou não).
Para uma matriz 2\times2
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é \det(M)=ad-bc. Se \det(M)\neq0, a matriz é invertível (não singular).
Calcule o determinante de A:
\det(A)=2\cdot2-0\cdot0=4.
Como \det(A)=4\neq0, a matriz é invertível. O posto (rank) de A é 2 (o máximo para uma 2\times2), porque as linhas/colunas são linearmente independentes. Logo \operatorname{rank}(A)=2.
Também podemos escrever explicitamente a inversa: como A=2I_2,
Verificar simetria e outras propriedades relacionadas.
Definição: A é simétrica se A^T=A, onde A^T é a transposta. Para uma matriz diagonal, a transposta é igual à própria matriz, então A é simétrica:
Como A é simétrica e todos os autovalores são positivos (aqui ambos são 2), A é definida positiva: para todo vetor não nulo x\in\mathbb{R}^2 vale x^T A x = 2\,x^T x>0.
A não é ortogonal (matriz ortogonal Q satisfaz Q^T Q=I). Aqui A^T A=(2I)(2I)=4I\neq I, então A não é ortogonal a menos que \lambda=\pm1.]
Passo 8
Resumo interpretativo (como reconhecer rápido na prova):
Se a matriz for diagonal com entradas iguais na diagonal, verifique se todos os valores da diagonal são iguais; então é múltipla da identidade.
Multiplicando ou dividindo pela constante, dá para ver imediatamente invertibilidade e inversa.
Diagonal → simétrica; se os valores diagonais positivos → definida positiva.
No caso dado, cada uma dessas checagens deu resultado afirmativo ou negativo conforme calculado acima.
Resposta
Matriz quadrada 2\times2
Matriz diagonal
Matriz escalar (múltipla da identidade): A=2I_2
Não é matriz nula
Não é a matriz identidade
Invertível (não singular), \det(A)=4, \operatorname{rank}(A)=2
Simétrica
Definida positiva