Classifique as matrizes abaixo:
(matriz linha, coluna, nula, identidade, diagonal, etc.)
\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 0 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}
e pede para classificá‑la (por exemplo: matriz linha, coluna, nula, identidade, diagonal, etc.). Vou listar claramente o que me pediram:
  • Identificar o tamanho/forma da matriz (linha, coluna, quadrada).
  • Verificar se é matriz nula.
  • Verificar se é matriz identidade.
  • Verificar se é diagonal, escalar (múltipla da identidade), simétrica, invertível, entre outras classificações usuais.]

Passo 2

Determinar a dimensão e se é matriz linha/coluna/quadrada.
Definição rápida (sem jargões):
  • “Matriz linha” tem apenas uma linha (tamanho 1\times n).
  • “Matriz coluna” tem apenas uma coluna (tamanho m\times 1).
  • “Matriz quadrada” tem mesmo número de linhas e colunas ( n\times n).
Aqui a matriz A tem duas linhas e duas colunas, então é uma matriz quadrada de ordem 2: \,A\in\mathbb{R}^{2\times2}\,. Portanto não é matriz linha nem coluna.

Passo 3

Verificar se é matriz nula (todas as entradas iguais a zero).
Definição: a matriz nula 0 tem todas as entradas iguais a 0.
Observação das entradas de A:
A_{11}=2,\quad A_{12}=0,\quad A_{21}=0,\quad A_{22}=2.
Como nem todas as entradas são zero (por exemplo A_{11}=2), a matriz não é a matriz nula.

Passo 4

Verificar se é diagonal.
Definição: uma matriz é diagonal se todas as entradas fora da diagonal principal forem zero, ou seja, A_{ij}=0 sempre que i\neq j.
Aqui A_{12}=0 e A_{21}=0 (as entradas fora da diagonal são zero), e os elementos da diagonal principal são A_{11}=2 e A_{22}=2. Portanto A é uma matriz diagonal.

Passo 5

Verificar se é matriz identidade e se é múltipla da identidade.
Definição: a matriz identidade I_2 é
I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Comparando, os elementos da diagonal de A valem 2, não 1. Logo A não é a matriz identidade.
No entanto, perceba que cada entrada da diagonal de A é 2 vezes a correspondente de I_2. Assim podemos escrever
A=2I_2.
Uma matriz da forma \lambda I_n (com \lambda\in\mathbb{R}) é chamada de matriz escalar ou múltipla da identidade. Portanto A é uma matriz escalar (múltipla da identidade) com \lambda=2.]

Passo 6

Verificar invertibilidade (matriz singular ou não).
Para uma matriz 2\times2
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é \det(M)=ad-bc. Se \det(M)\neq0, a matriz é invertível (não singular).
Calcule o determinante de A:
\det(A)=2\cdot2-0\cdot0=4.
Como \det(A)=4\neq0, a matriz é invertível. O posto (rank) de A é 2 (o máximo para uma 2\times2), porque as linhas/colunas são linearmente independentes. Logo \operatorname{rank}(A)=2.
Também podemos escrever explicitamente a inversa: como A=2I_2,
A^{-1}=\frac{1}{2}I_2=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificar simetria e outras propriedades relacionadas.
Definição: A é simétrica se A^T=A, onde A^T é a transposta. Para uma matriz diagonal, a transposta é igual à própria matriz, então A é simétrica:
A^T=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}=A.
Propriedades adicionais úteis:
  • Como A é simétrica e todos os autovalores são positivos (aqui ambos são 2), A é definida positiva: para todo vetor não nulo x\in\mathbb{R}^2 vale x^T A x = 2\,x^T x>0.
  • A não é ortogonal (matriz ortogonal Q satisfaz Q^T Q=I). Aqui A^T A=(2I)(2I)=4I\neq I, então A não é ortogonal a menos que \lambda=\pm1.]

Passo 8

Resumo interpretativo (como reconhecer rápido na prova):
  • Se a matriz for diagonal com entradas iguais na diagonal, verifique se todos os valores da diagonal são iguais; então é múltipla da identidade.
  • Multiplicando ou dividindo pela constante, dá para ver imediatamente invertibilidade e inversa.
  • Diagonal → simétrica; se os valores diagonais positivos → definida positiva.
    No caso dado, cada uma dessas checagens deu resultado afirmativo ou negativo conforme calculado acima.

Resposta

Matriz quadrada 2\times2
Matriz diagonal
Matriz escalar (múltipla da identidade): A=2I_2
Não é matriz nula
Não é a matriz identidade
Invertível (não singular), \det(A)=4, \operatorname{rank}(A)=2
Simétrica
Definida positiva

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