São dados os pontos A e B de um mesmo lado de uma reta r. Determinar um ponto P sobre T de forma que o ângulo entre r e PB seja o dobro do ângulo entre PA e r.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dados: existem dois pontos A e B que estão do mesmo lado de uma reta r.
  • Pedido: determinar um ponto P sobre r tal que o ângulo entre r e PB seja o dobro do ângulo entre PA e r.
Informações relevantes que temos (já só a partir do enunciado):
  • Os pontos A e B estão no mesmo semi-plano em relação à reta r (por isso as medidas de ângulos entre segmentos PA, PB e a reta fazem sentido e são do mesmo tipo).
  • Queremos localizar P sobre a reta r (ou seja, P varia apenas ao longo de r).
  • O enunciado pede uma condição angular: \angle(PB,r)=2\angle(PA,r).

Passo 2

Escolher coordenadas para traduzir o problema em equações (isso simplifica o raciocínio e é uma técnica padrão). Vou explicar por que e como:
  • Coloco a reta r como o eixo x (isso é conveniente: qualquer reta pode ser tomada como eixo x por uma rotação rígida; a construção obtida pode ser levada de volta por rotação inversa).
  • Defino coordenadas:
    • A = \bigl(x_A,y_A\bigr) com y_A>0 (ou y_A<0, mas como A e B estão do mesmo lado de r tomo ambas as ordenadas com mesmo sinal; sem perda de generalidade uso y_A>0).
    • B = \bigl(x_B,y_B\bigr) com y_B>0.
    • Um ponto genérico P em r tem coordenadas P=(x,0) (variando só em x).
  • Objetivo agora: achar o(s) valor(es) de x tal que a condição angular seja satisfeita.
Comentário didático curto: colocar r como eixo x faz com que o ângulo entre um segmento PX e r seja simplesmente o ângulo que o vetor (x_X-x,\,y_X-0) faz com o eixo x; sua tangente é a razão entre a ordenada e a diferença de abscissas. Isso simplifica expressar a condição angular.

Passo 3

Escrever a condição angular em fórmulas usando arctangente e depois usar a fórmula do ângulo duplo. Vou explicar cada passo:
  • A inclinação (tangente do ângulo que o segmento faz com o eixo x) do segmento PA é \tan\bigl(\angle(PA,r)\bigr)=\frac{y_A}{x_A-x}.Explicação: o segmento PA vai de P=(x,0) a A=(x_A,y_A); seu “rise/run” é (y_A-0)/(x_A-x).
  • Analogamente, para PB: \tan\bigl(\angle(PB,r)\bigr)=\frac{y_B}{x_B-x}.
  • A condição do enunciado é \angle(PB,r) = 2\,\angle(PA,r).Tomando tangente em ambos os lados e usando a fórmula da tangente do dobro de um ângulo, lembrando que para qualquer \varphi \tan(2\varphi)=\frac{2\tan\varphi}{1-\tan^2\varphi},obtemos a equação \frac{y_B}{x_B-x}=\frac{2\cdot\frac{y_A}{x_A-x}}{\,1-\left(\frac{y_A}{x_A-x}\right)^2\,}.Eu usei aqui a fórmula da tangente do ângulo duplo; ela é fundamental quando um ângulo é o dobro de outro e queremos trabalhar com tangentes.

Passo 4

Simplificar a equação passo a passo (aqui faço as manipulações algébricas com cuidado, explicando cada termo):
Parto da equação
\frac{y_B}{x_B-x} = \frac{2\,\dfrac{y_A}{x_A-x}}{1-\left(\dfrac{y_A}{x_A-x}\right)^2}.
Multiplico numerador e denominador no lado direito pela mesma potência para simplificar; uma maneira direta de simplificar é transformar o lado direito em uma única fração:
O denominador direito é
1-\left(\frac{y_A}{x_A-x}\right)^2=\frac{(x_A-x)^2-y_A^2}{(x_A-x)^2}.
Portanto o lado direito é
\frac{2\,\dfrac{y_A}{x_A-x}}{\dfrac{(x_A-x)^2-y_A^2}{(x_A-x)^2}} =2\,\dfrac{y_A}{x_A-x}\cdot\dfrac{(x_A-x)^2}{(x_A-x)^2-y_A^2} = \frac{2 y_A (x_A-x)}{(x_A-x)^2-y_A^2}.
Assim a equação fica
\frac{y_B}{x_B-x}=\frac{2 y_A (x_A-x)}{(x_A-x)^2-y_A^2}.

Passo 5

Transformar a igualdade acima numa equação polinomial em x (multiplicando em cruz e expandindo). Faço isso com calma:
Multiplicando em cruz,
y_B\bigl((x_A-x)^2-y_A^2\bigr) = 2 y_A (x_A-x)(x_B-x).
Expandindo (x_A-x)^2 como x_A^2-2x_A x + x^2 (aqui x é a incógnita),
y_B\bigl(x_A^2-2x_A x + x^2 - y_A^2\bigr) = 2 y_A\bigl(x_A x_B - (x_A+x_B)x + x^2\bigr).
Agora passo tudo para o lado esquerdo para obter um polinômio igual a zero; coloco termos de x^2, x e termo constante:
  • Coeficiente de x^2:
    a = y_B - 2 y_A.
    (vem de y_B\cdot x^2 - 2y_A\cdot x^2.)
  • Coeficiente de x:
    b = 2\bigl( y_A(x_A + x_B) - y_B x_A \bigr).
    (explicando: do lado esquerdo aparece -2 y_B x_A x; do lado direito aparece -2 y_A (-(x_A+x_B)x) = +2 y_A (x_A+x_B)x; somando gera esse b.)
  • Termo constante:
    c = y_B x_A^2 - y_B y_A^2 - 2 y_A x_A x_B.
    (são os termos sem x depois da transposição.)
Portanto obtemos a equação quadrática (em x)
\underbrace{\bigl(y_B-2y_A\bigr)}_{a}\,x^2 +\underbrace{2\bigl( y_A(x_A + x_B) - y_B x_A \bigr)}_{b}\,x +\underbrace{\bigl(y_B x_A^2 - y_B y_A^2 - 2 y_A x_A x_B\bigr)}_{c}=0.
Observação didática: essa é a equação que determina todas as abscissas x dos pontos P=(x,0) sobre r que satisfazem a condição angular. Em geral é uma quadrática, então pode haver até duas soluções (dois pontos P distintos sobre r).

Passo 6

Resolver a quadrática com a fórmula de Bhaskara (dou uma aula rápida sobre essa fórmula):
  • Se a\neq 0 (ou seja, se y_B\neq 2y_A), as soluções são x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},onde a, b, c são os coeficientes definidos no Passo 5.
Explicação didática da fórmula: para qualquer polinômio a x^2 + b x + c = 0 com a\neq 0, a solução vem de completar quadrado; o discriminante \Delta=b^2-4ac determina se há duas soluções reais ( \Delta>0), uma solução real repetida ( \Delta=0) ou nenhuma solução real ( \Delta<0). No contexto geométrico \Delta<0 não daria solução real para x (ou seja, nenhuma posição real de P no eixo x satisfaz a condição — isso pode acontecer dependendo da configuração de A e B).

Passo 7

Caso especial: a=0 (ou seja, y_B=2y_A). Então a equação quadrática degenera para uma equação linear:
  • Se y_B=2y_A então a equação fica
    b x + c = 0,
    com b e c dados antes. Assim, se b\neq 0,
    x = -\frac{c}{b}.
    Substituindo b e c explicitamente, quando y_B=2y_A e y_A\neq 0 (caso genérico),
    x = -\frac{y_B x_A^2 - y_B y_A^2 - 2 y_A x_A x_B}{2\bigl( y_A(x_A + x_B) - y_B x_A \bigr)}.
    Esta expressão pode ser simplificada usando y_B=2y_A se quiser, resultando numa forma mais compacta:
    x = \frac{-\bigl(2y_A x_A^2 - 2y_A y_A^2 - 2 y_A x_A x_B\bigr)}{2 y_A (x_B-x_A)} = \frac{-\bigl(x_A^2 - y_A^2 - x_A x_B\bigr)}{x_B-x_A}.
    (Aqui simplifiquei cancelando 2y_A.)
  • Se b=0 também (situação ainda mais degenerada), então precisa checar c: se c\neq 0 não há solução; se c=0 então todo x é solução (caso degenerado geométrico muito especial que significa que a condição angular é satisfeita para qualquer P sobre r — isso só ocorre em configurações bem particulares).

Passo 8

Interpretação geométrica e sobre qual solução escolher:
  • A solução algébrica deu até duas abscissas reais x. Geometricamente isso corresponde a até dois pontos P sobre r que satisfazem a condição \angle(PB,r)=2\angle(PA,r). Ambos são válidos do ponto de vista do enunciado, salvo restrições adicionais (o enunciado não exclui múltiplas soluções).
  • Se surgir \Delta<0, então não existe P real sobre r que satisfaça a condição (isto é possível se a geometria dos pontos não permitir o ângulo duplo pedido).
  • Se for necessário um único P (por exemplo por uma condição extra do enunciado que aqui não temos), é preciso escolher a solução que satisfaça essa condição extra (por exemplo, entre as duas raízes escolher a que gera ângulos agudos se isso for requerido).
Comentário de estudo: na prova, esse tipo de problema costuma aceitar montar um sistema trigonométrico com a tangente e usar a identidade de ângulo duplo; a parte algébrica é só manipulação cuidadosa e aplicação da fórmula de Bhaskara. Se o professor esperar uma construção geométrica, pode existir construção usando circunferências e homotecias, mas a via analítica é direta e segura para calcular P.

Passo 9

Resumo prático (passo-a-passo que você pode repetir na prova, sem muita matemática pesada):
  1. Coloque r como eixo x; escreva A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B), P=(x,0).
  2. Escreva \tan(\angle(PA,r))=\dfrac{y_A}{x_A-x} e \tan(\angle(PB,r))=\dfrac{y_B}{x_B-x}.
  3. Use a condição \tan(\angle(PB,r))=\tan\bigl(2\angle(PA,r)\bigr)=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} com \tan\theta=\dfrac{y_A}{x_A-x}.
  4. Obtenha a quadrática do Passo 5 e resolva por Bhaskara; trate o caso especial y_B=2y_A separadamente (então é linear).
  5. As raízes x dão as abscissas dos possíveis pontos P=(x,0).

Resposta

Se A=(x_A,y_A) e B=(x_B,y_B) com y_A,y_B do mesmo sinal, então os possíveis pontos P sobre r são P=(x,0) com x solução da quadrática
\bigl(y_B-2y_A\bigr)x^2+2\bigl( y_A(x_A + x_B) - y_B x_A \bigr)x+\bigl(y_B x_A^2 - y_B y_A^2 - 2 y_A x_A x_B\bigr)=0.
Assim, se y_B\neq 2y_A,
x=\frac{-2\bigl( y_A(x_A + x_B) - y_B x_A \bigr)\pm\sqrt{\Delta}}{2\bigl(y_B-2y_A\bigr)} \quad\text{onde}\quad \Delta=\Bigl[2\bigl( y_A(x_A + x_B) - y_B x_A \bigr)\Bigr]^2-4\bigl(y_B-2y_A\bigr)\bigl(y_B x_A^2 - y_B y_A^2 - 2 y_A x_A x_B\bigr).
Se y_B=2y_A e y_A(x_B-x_A)\neq 0, então
x=\frac{-\bigl(x_A^2 - y_A^2 - x_A x_B\bigr)}{x_B-x_A},
e P=(x,0).

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