- Obter as coordenadas do foco, vértice e a equação da diretriz da parábola
. Em seguida, construir o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede explicitamente três coisas e, depois, o desenho da parábola:
- Obter as coordenadas do foco;
- Obter as coordenadas do vértice;
- Determinar a equação da diretriz;
- Construir (esboçar) o gráfico da parábola.
A única informação numérica que o enunciado dá é a equação da parábola:
Passo 2
Colocar a equação na forma-padrão da parábola e identificar os parâmetros.
A forma-padrão de uma parábola com eixo paralelo ao eixo
é
onde:
-
é o vértice; -
é a distância assinada do vértice até o foco (se abre para a direita; se abre para a esquerda); - a diretriz tem equação
; - o foco tem coordenada
.
Agora compare a equação dada com a forma-padrão. Reescrevendo
Da comparação com
obtemos:
-
, -
, -
.
Explicando:
e
movem o vértice;
diz a “distância focal” (com sinal) medida ao longo do eixo da parábola.
Passo 3
Calcular vértice, foco e diretriz usando os valores
,
,
.
-
Vértice:
. -
Foco:
. -
Diretriz:
. Logo a diretriz é a reta vertical .
Também é útil anotar:
- O eixo de simetria é a reta horizontal
. - O parâmetro
indica que a parábola abre para a esquerda (porque ). - O comprimento da latus rectum (segmento focal) é
. Seus extremos ficam no mesmo do foco, com . Aqui os extremos são e .
Passo 4
Breve derivação (didática) de onde vem a forma
— para entender por que as fórmulas do passo anterior valem.
Definição geométrica: parábola = conjunto de pontos equidistantes do foco
e da diretriz
. Para um ponto genérico
:
- distância ao foco:
; - distância à diretriz:
.
Igualando e elevando ao quadrado:
Expandindo e simplificando (os termos em
e
se cancelam) sobra
Isso mostra por que a forma padrão relaciona
com vértice, foco e diretriz.
Passo 5
Calcular pontos adicionais para desenhar a parábola (faça os cálculos passo a passo na prova desse mesmo jeito).
Vamos escolher valores de
simétricos em torno de
e achar
a partir de
, isto é,
- Para
:
Ponto:
(vértice).
- Para
:
Ponto:
(um extremo da latus rectum).
- Para
:
Ponto:
(outro extremo da latus rectum).
- Para
:
Ponto:
.
-
Para
:
mesma conta que para(simetria): ponto . -
Para
:
Ponto:
. E por simetria para
:
.
Esses pontos dão uma boa ideia da forma: todos têm
e a parábola se abre para a esquerda.
Passo 6
Como construir o gráfico (passo a passo prático sobre o papel quadriculado que o enunciado deu):
- Marque o vértice
. - Trace a reta do eixo de simetria
como guia (reta horizontal passando por ). - Marque o foco
sobre essa reta à esquerda do vértice (distância 1). - Desenhe a diretriz vertical
(reta à direita do vértice). - Marque os pontos da latus rectum
e — eles são os extremos do segmento perpendicular ao eixo passando pelo foco. - Marque também os pontos
, e, se quiser, , para ter mais referência. - Desenhe uma curva suave passando pelo vértice e por esses pontos, simétrica em relação a
, abrindo para a esquerda. Use os pontos próximos ao vértice para garantir a curvatura certa e os mais distantes para esticar a parábola.
Dica de prova: na hora da prova, calcule vértice, foco e diretriz primeiro — com isso já se tem a “estrutura” da parábola — e só então compute 2–4 pontos para garantir o traço.
Resposta
Foco:
Vértice:
Diretriz:
Vértice:
Diretriz: