1. Obter as coordenadas do foco, vértice e a equação da diretriz da parábola (y-2)^{2}=-4(x+1). Em seguida, construir o gráfico.

Passo 1

O enunciado pede explicitamente três coisas e, depois, o desenho da parábola:
  • Obter as coordenadas do foco;
  • Obter as coordenadas do vértice;
  • Determinar a equação da diretriz;
  • Construir (esboçar) o gráfico da parábola.
A única informação numérica que o enunciado dá é a equação da parábola:
(y-2)^{2}=-4(x+1).

Passo 2

Colocar a equação na forma-padrão da parábola e identificar os parâmetros.
A forma-padrão de uma parábola com eixo paralelo ao eixo x é
(y-k)^{2}=4p(x-h),
onde:
  • (h,k) é o vértice;
  • p é a distância assinada do vértice até o foco (se p>0 abre para a direita; se p<0 abre para a esquerda);
  • a diretriz tem equação x=h-p;
  • o foco tem coordenada (h+p,k).
Agora compare a equação dada com a forma-padrão. Reescrevendo
(y-2)^{2}=-4(x+1)=-4\bigl(x-(-1)\bigr).
Da comparação com (y-k)^2=4p(x-h) obtemos:
  • h=-1,
  • k=2,
  • 4p=-4 \Rightarrow p=-1.
Explicando: h e k movem o vértice; p diz a “distância focal” (com sinal) medida ao longo do eixo da parábola.

Passo 3

Calcular vértice, foco e diretriz usando os valores h=-1, k=2, p=-1.
  • Vértice: (h,k)=(-1,2).
  • Foco: (h+p,k)=(-1+(-1),\,2)=(-2,2).
  • Diretriz: x=h-p=-1-(-1)=0. Logo a diretriz é a reta vertical x=0.
Também é útil anotar:
  • O eixo de simetria é a reta horizontal y=k=2.
  • O parâmetro p=-1 indica que a parábola abre para a esquerda (porque p<0).
  • O comprimento da latus rectum (segmento focal) é |4p|=4. Seus extremos ficam no mesmo x do foco, com y=k\pm 2|p|. Aqui os extremos são (-2,4) e (-2,0).

Passo 4

Breve derivação (didática) de onde vem a forma (y-k)^2=4p(x-h) — para entender por que as fórmulas do passo anterior valem.
Definição geométrica: parábola = conjunto de pontos equidistantes do foco F=(h+p,k) e da diretriz x=h-p. Para um ponto genérico (x,y):
  • distância ao foco: \sqrt{(x-(h+p))^{2}+(y-k)^{2}};
  • distância à diretriz: |x-(h-p)|.
Igualando e elevando ao quadrado:
(x-(h+p))^{2}+(y-k)^{2}=(x-(h-p))^{2}.
Expandindo e simplificando (os termos em x^{2} e x se cancelam) sobra
(y-k)^{2}=4p(x-h).
Isso mostra por que a forma padrão relaciona h,k,p com vértice, foco e diretriz.

Passo 5

Calcular pontos adicionais para desenhar a parábola (faça os cálculos passo a passo na prova desse mesmo jeito).
Vamos escolher valores de y simétricos em torno de k=2 e achar x a partir de (y-2)^{2}=-4(x+1), isto é,
x = -1 -\frac{(y-2)^{2}}{4}.
  1. Para y=2:
(y-2)^{2}=0 \Rightarrow x=-1.
Ponto: (-1,2) (vértice).
  1. Para y=4:
(4-2)^{2}=4 \Rightarrow -4(x+1)=4 \Rightarrow x+1=-1 \Rightarrow x=-2.
Ponto: (-2,4) (um extremo da latus rectum).
  1. Para y=0:
(0-2)^{2}=4 \Rightarrow x=-2.
Ponto: (-2,0) (outro extremo da latus rectum).
  1. Para y=3:
(3-2)^{2}=1 \Rightarrow -4(x+1)=1 \Rightarrow x+1=-\tfrac{1}{4}\Rightarrow x=-1-\tfrac{1}{4}=-\tfrac{5}{4}.
Ponto: \bigl(-\tfrac{5}{4},\,3\bigr).
  1. Para y=1:
    mesma conta que para y=3 (simetria): ponto \bigl(-\tfrac{5}{4},\,1\bigr).
  2. Para y=6:
(6-2)^{2}=16 \Rightarrow -4(x+1)=16 \Rightarrow x+1=-4 \Rightarrow x=-5.
Ponto: (-5,6). E por simetria para y=-2: (-5,-2).
Esses pontos dão uma boa ideia da forma: todos têm x\le -1 e a parábola se abre para a esquerda.

Passo 6

Como construir o gráfico (passo a passo prático sobre o papel quadriculado que o enunciado deu):
  1. Marque o vértice (-1,2).
  2. Trace a reta do eixo de simetria y=2 como guia (reta horizontal passando por y=2).
  3. Marque o foco (-2,2) sobre essa reta à esquerda do vértice (distância 1).
  4. Desenhe a diretriz vertical x=0 (reta à direita do vértice).
  5. Marque os pontos da latus rectum (-2,4) e (-2,0) — eles são os extremos do segmento perpendicular ao eixo passando pelo foco.
  6. Marque também os pontos \bigl(-\tfrac{5}{4},1\bigr), \bigl(-\tfrac{5}{4},3\bigr) e, se quiser, (-5,6), (-5,-2) para ter mais referência.
  7. Desenhe uma curva suave passando pelo vértice e por esses pontos, simétrica em relação a y=2, abrindo para a esquerda. Use os pontos próximos ao vértice para garantir a curvatura certa e os mais distantes para esticar a parábola.
Dica de prova: na hora da prova, calcule vértice, foco e diretriz primeiro — com isso já se tem a “estrutura” da parábola — e só então compute 2–4 pontos para garantir o traço.

Resposta

Foco: (-2,2)
Vértice: (-1,2)
Diretriz: x=0

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