Classifique os pontos críticos de
f(x, y)=x^{2} y-y^{3} .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos. O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}y-y^{3}.
O que é pedido:
  • Encontrar os pontos críticos de f.
  • Classificar cada ponto crítico (mínimo local, máximo local, ponto de sela ou caso degenerado).
Informações relevantes que temos:
  • A função está definida para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • Para achar pontos críticos precisamos resolver o sistema formado pelas derivadas parciais iguais a zero.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem (o gradiente). As derivadas parciais são as derivadas em relação a cada variável, tratando a outra como constante:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=f_x(x,y)=2xy,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=f_y(x,y)=x^{2}-3y^{2}.
Um ponto crítico satisfaz f_x(x,y)=0 e f_y(x,y)=0 ao mesmo tempo. Então resolvemos o sistema
\begin{cases} 2xy=0,\\[4pt] x^{2}-3y^{2}=0. \end{cases}]

Passo 3

Resolver o sistema. Da primeira equação 2xy=0 segue que ou x=0 ou y=0.
  • Se x=0, substituindo em x^{2}-3y^{2}=0 obtemos 0-3y^{2}=0, então y=0.
  • Se y=0, substituindo em x^{2}-3y^{2}=0 obtemos x^{2}=0, então x=0.
Portanto a única solução é (x,y)=(0,0). Conclusão: o único ponto crítico é (0,0).

Passo 4

Aplicar o teste das segundas derivadas (teste do determinante do Hessiano). Primeiro escrevemos as segundas derivadas:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y,
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x,
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-3y^{2})=-6y.
O Hessiano (matriz das segundas derivadas) é
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\[4pt] f_{xy}(x,y) & f_{yy}(x,y)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2y & 2x \\[4pt] 2x & -6y\end{pmatrix}.
No teste usual definimos D(x,y)=\det H(x,y)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}. Calculando:
D(x,y)=(2y)(-6y)-(2x)^{2}=-12y^{2}-4x^{2}=-4(3y^{2}+x^{2}).
Avaliaremos em (0,0):
f_{xx}(0,0)=0,\qquad f_{xy}(0,0)=0,\qquad f_{yy}(0,0)=0,
D(0,0)=-4(3\cdot 0^{2}+0^{2})=0.]

Passo 5

Interpretação do resultado do passo anterior: quando D>0 e f_{xx}>0 temos mínimo local; quando D>0 e f_{xx}<0 temos máximo local; quando D<0 temos ponto de sela; quando D=0 o teste é inconclusivo. Aqui D(0,0)=0 e todas as segundas derivadas são zero em (0,0), então o teste das segundas derivadas é inconclusivo: o ponto é degenerado. Precisamos de uma análise mais fina (usar termos de ordem superior / analisar valores de f em várias direções).

Passo 6

Fazer a análise por caminhos (método para casos degenerados). Uma maneira prática é olhar f restrita a retas que passam pela origem: tome y=mx com m\in\mathbb{R}. Substituindo em f:
f(x,mx)=x^{2}(mx)-(mx)^{3}=x^{3}\bigl(m-m^{3}\bigr)=x^{3}m(1-m^{2}).
Para x pequeno, o sinal de f(x,mx) depende do sinal de x^{3} e do fator m(1-m^{2}). Note que:
  • Se escolhermos um m tal que m(1-m^{2})>0, então para x>0 pequeno temos f(x,mx)>0.
  • Se escolhermos um m tal que m(1-m^{2})<0, então para x>0 pequeno temos f(x,mx)<0.
Assim, se existirem valores de m que façam m(1-m^{2}) positivo e outros m que façam negativo, então arbitrariamente perto da origem a função assume valores positivos e negativos — isso caracteriza um ponto de sela.

Passo 7

Exemplos concretos para fixar a ideia (mostrando positividade e negatividade próximos à origem):
  • Tome m=\tfrac{1}{2}. Então m(1-m^{2})=\tfrac{1}{2}\bigl(1-\tfrac{1}{4}\bigr)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{3}{4}=\tfrac{3}{8}>0. Para x>0 pequeno,
f\bigl(x,\tfrac{1}{2}x\bigr)=x^{3}\cdot\tfrac{3}{8}>0.
Logo há pontos com f>0 arbitrariamente próximos de (0,0).
  • Tome m=2. Então m(1-m^{2})=2(1-4)=2(-3)=-6<0. Para x>0 pequeno,
f( x,2x)=x^{3}(-6)<0.
Logo há pontos com f<0 arbitrariamente próximos de (0,0).
Como existem pontos com valores positivos e negativos arbitrariamente próximos à origem, (0,0) é um ponto de sela.

Passo 8

Comentário sobre característica degenerada: o Hessiano em (0,0) é a matriz nula, portanto o ponto crítico é degenerado — isto é, o teste quadrático (segundas derivadas) não decide. A classificação final, porém, obtida pela análise de caminhos, mostra que é um ponto de sela degenerado.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0).
(0,0) é um ponto de sela (degenerado).

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