Classifique os pontos críticos de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos. O enunciado dá a função
O que é pedido:
- Encontrar os pontos críticos de
. - Classificar cada ponto crítico (mínimo local, máximo local, ponto de sela ou caso degenerado).
Informações relevantes que temos:
- A função está definida para todo
. - Para achar pontos críticos precisamos resolver o sistema formado pelas derivadas parciais iguais a zero.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem (o gradiente). As derivadas parciais são as derivadas em relação a cada variável, tratando a outra como constante:
Um ponto crítico satisfaz
e
ao mesmo tempo. Então resolvemos o sistema
Passo 3
Resolver o sistema. Da primeira equação
segue que ou
ou
.
- Se
, substituindo em obtemos , então . - Se
, substituindo em obtemos , então .
Portanto a única solução é
. Conclusão: o único ponto crítico é
.
Passo 4
Aplicar o teste das segundas derivadas (teste do determinante do Hessiano). Primeiro escrevemos as segundas derivadas:
O Hessiano (matriz das segundas derivadas) é
No teste usual definimos
. Calculando:
Avaliaremos em
:
Passo 5
Interpretação do resultado do passo anterior: quando
e
temos mínimo local; quando
e
temos máximo local; quando
temos ponto de sela; quando
o teste é inconclusivo. Aqui
e todas as segundas derivadas são zero em
, então o teste das segundas derivadas é inconclusivo: o ponto é degenerado. Precisamos de uma análise mais fina (usar termos de ordem superior / analisar valores de
em várias direções).
Passo 6
Fazer a análise por caminhos (método para casos degenerados). Uma maneira prática é olhar
restrita a retas que passam pela origem: tome
com
. Substituindo em
:
Para
pequeno, o sinal de
depende do sinal de
e do fator
. Note que:
- Se escolhermos um
tal que , então para pequeno temos . - Se escolhermos um
tal que , então para pequeno temos .
Assim, se existirem valores de
que façam
positivo e outros
que façam negativo, então arbitrariamente perto da origem a função assume valores positivos e negativos — isso caracteriza um ponto de sela.
Passo 7
Exemplos concretos para fixar a ideia (mostrando positividade e negatividade próximos à origem):
- Tome
. Então . Para pequeno,
Logo há pontos com
arbitrariamente próximos de
.
- Tome
. Então . Para pequeno,
Logo há pontos com
arbitrariamente próximos de
.
Como existem pontos com valores positivos e negativos arbitrariamente próximos à origem,
é um ponto de sela.
Passo 8
Comentário sobre característica degenerada: o Hessiano em
é a matriz nula, portanto o ponto crítico é degenerado — isto é, o teste quadrático (segundas derivadas) não decide. A classificação final, porém, obtida pela análise de caminhos, mostra que é um ponto de sela degenerado.
Resposta
O único ponto crítico é
.
é um ponto de sela (degenerado).