Calcule o gradiente e avalie em ( 0,0 ):
f(x, y)=\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular o gradiente de f, isto é, encontrar \nabla f(x,y).
  • Avaliar esse gradiente no ponto (0,0).
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\ln\!\left(1+x^{2}+y^{2}\right).
  • Observação útil: 1+x^{2}+y^{2}\ge 1>0 para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, então o argumento do \ln é sempre positivo e f está bem definida em todo o plano.

Passo 2

O que é o gradiente?
O gradiente de uma função de duas variáveis f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\\ \frac{\partial f}{\partial y}\right).
Aqui \frac{\partial f}{\partial x} significa derivar f em relação a x mantendo y fixo; de forma análoga para \frac{\partial f}{\partial y}.

Passo 3

Estratégia para derivar: usar a regra da cadeia. É conveniente definir a função interna
u(x,y)=1+x^{2}+y^{2},
então f(x,y)=\ln(u(x,y)). A derivada de \ln(u) em relação a uma variável é \dfrac{1}{u} vezes a derivada de u nessa variável:
\frac{\partial}{\partial x}\ln(u(x,y))=\frac{1}{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x}. Como u(x,y)=1+x^{2}+y^{2},
\frac{\partial u}{\partial x}=2x.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}\cdot 2x=\frac{2x}{1+x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Agora calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} da mesma maneira. Primeiro
\frac{\partial u}{\partial y}=2y,
logo, pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}\cdot 2y=\frac{2y}{1+x^{2}+y^{2}}.

Passo 6

Juntando as duas componentes, o gradiente é
\nabla f(x,y)=\left(\frac{2x}{1+x^{2}+y^{2}},\\ \frac{2y}{1+x^{2}+y^{2}}\right).

Passo 7

Agora avaliar em (0,0): basta substituir x=0 e y=0 nas componentes do gradiente.
\frac{2x}{1+x^{2}+y^{2}}\Bigg|_{(0,0)}=\frac{2\cdot 0}{1+0+0}=0, \qquad \frac{2y}{1+x^{2}+y^{2}}\Bigg|_{(0,0)}=\frac{2\cdot 0}{1+0+0}=0.
Portanto \nabla f(0,0)=(0,0).

Resposta

\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{2x}{1+x^{2}+y^{2}},\dfrac{2y}{1+x^{2}+y^{2}}\right)
\nabla f(0,0)=(0,0)

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