Determine a direção na qual
cresce mais rapidamente no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar a direção na qual
cresce mais rapidamente no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - Pergunta: qual direção (vetor) a partir de
faz aumentar mais rapidamente?
Passo 2
Intuição e ideia que vamos usar (sem ainda calcular): para funções de duas variáveis, o crescimento na direção de um vetor unitário
é medido pela derivada direcional
. Existe uma relação fundamental que diz que o crescimento máximo ocorre na direção do vetor gradiente
. Vou explicar e provar isso passo a passo em seguida.
Passo 3
Definição da derivada direcional e do gradiente (aula curta).
- A derivada direcional de
no ponto na direção do vetor unitário é
ou seja, o produto escalar entre o gradiente e
.
- O gradiente
é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Explicando cada peça:
é a taxa de variação de
quando
muda e
fica fixo;
é análogo para
. O produto escalar
combina essas taxas segundo a direção
.
Passo 4
Cálculo das derivadas parciais de
.
- Calcular
para :
- Calcular
:
Portanto o gradiente geral é
Passo 5
Avaliar o gradiente no ponto
.
Substituindo e
nas componentes:
Substituindo
Então o gradiente em
é o vetor
.
Passo 6
Por que a direção do gradiente é a direção de máximo crescimento? (prova curta e didática)
Seja e seja
qualquer vetor unitário (
). A derivada direcional vale
Seja
Pelo Desigualdade de Cauchy–Schwarz (uma identidade simples sobre produto escalar):
Como
, temos
A igualdade ocorre exatamente quando
é paralelo a
(i.e., mesma direção). Portanto o valor máximo possível de
é
e é atingido quando
tem a direção de
. Conclusão: a função cresce mais rapidamente na direção do gradiente.
Passo 7
Aplicar o resultado ao nosso caso concreto.
Já temos .
Já temos
- A direção de máximo crescimento é a direção do vetor
. - Normalmente dizemos a direção como um vetor unitário; o vetor unitário na direção de
é
- O valor máximo da derivada direcional naquele ponto (ou seja, a taxa máxima de aumento) é a norma do gradiente:
Passo 8
Pequeno exemplo numérico para fixar a intuição (opcional mas útil).
- Direção ao longo do eixo
: vetor unitário . Então
- Direção ao longo do eixo
: vetor unitário :
- Direção da diagonal (o gradiente normalizado):
:
que é maior que
. Portanto faz sentido: a melhor direção é a diagonal
.
Resposta
A direção de máximo crescimento em
é a direção do gradiente
.
O vetor unitário nessa direção é .
O vetor unitário nessa direção é