Determine a direção na qual f(x, y)=x^{2}-x y+y^{2} cresce mais rapidamente no ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}-x y+y^{2} e pede: determinar a direção na qual f cresce mais rapidamente no ponto (1,1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=x^{2}-x y+y^{2}.
  • O ponto de interesse é (1,1).
  • Pergunta: qual direção (vetor) a partir de (1,1) faz f aumentar mais rapidamente?

Passo 2

Intuição e ideia que vamos usar (sem ainda calcular): para funções de duas variáveis, o crescimento na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é medido pela derivada direcional D_{\mathbf{u}}f. Existe uma relação fundamental que diz que o crescimento máximo ocorre na direção do vetor gradiente \nabla f. Vou explicar e provar isso passo a passo em seguida.

Passo 3

Definição da derivada direcional e do gradiente (aula curta).
  • A derivada direcional de f no ponto (x_0,y_0) na direção do vetor unitário \mathbf{u}=(u_1,u_2) é
D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot\mathbf{u},
ou seja, o produto escalar entre o gradiente e \mathbf{u}.
  • O gradiente \nabla f é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Explicando cada peça: \frac{\partial f}{\partial x} é a taxa de variação de f quando x muda e y fica fixo; \frac{\partial f}{\partial y} é análogo para y. O produto escalar \nabla f\cdot\mathbf{u} combina essas taxas segundo a direção \mathbf{u}.

Passo 4

Cálculo das derivadas parciais de f.
  • Calcular \frac{\partial f}{\partial x} para f(x,y)=x^{2}-x y+y^{2}:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x-y.
  • Calcular \frac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-x+2y.
Portanto o gradiente geral é
\nabla f(x,y)=\bigl(2x-y,\; -x+2y\bigr).

Passo 5

Avaliar o gradiente no ponto (1,1).
Substituindo x=1 e y=1 nas componentes:
\nabla f(1,1)=\bigl(2\cdot1-1,\; -1+2\cdot1\bigr)=\bigl(1,\;1\bigr).
Então o gradiente em (1,1) é o vetor \nabla f(1,1)=(1,1).

Passo 6

Por que a direção do gradiente é a direção de máximo crescimento? (prova curta e didática)
Seja \mathbf{v}=\nabla f(1,1) e seja \mathbf{u} qualquer vetor unitário ( \|\mathbf{u}\|=1). A derivada direcional vale
D_{\mathbf{u}}f(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot\mathbf{u}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}.
Pelo Desigualdade de Cauchy–Schwarz (uma identidade simples sobre produto escalar):
\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}\le \|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{u}\|.
Como \|\mathbf{u}\|=1, temos
D_{\mathbf{u}}f(1,1)\le \|\mathbf{v}\|.
A igualdade ocorre exatamente quando \mathbf{u} é paralelo a \mathbf{v} (i.e., mesma direção). Portanto o valor máximo possível de D_{\mathbf{u}}f(1,1) é \|\mathbf{v}\| e é atingido quando \mathbf{u} tem a direção de \mathbf{v}. Conclusão: a função cresce mais rapidamente na direção do gradiente.

Passo 7

Aplicar o resultado ao nosso caso concreto.
Já temos \nabla f(1,1)=\mathbf{v}=(1,1).
  • A direção de máximo crescimento é a direção do vetor (1,1).
  • Normalmente dizemos a direção como um vetor unitário; o vetor unitário na direção de (1,1) é
\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}\,(1,1)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
  • O valor máximo da derivada direcional naquele ponto (ou seja, a taxa máxima de aumento) é a norma do gradiente:
\|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.

Passo 8

Pequeno exemplo numérico para fixar a intuição (opcional mas útil).
  • Direção ao longo do eixo x: vetor unitário (1,0). Então
D_{(1,0)}f(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot(1,0)=1.
  • Direção ao longo do eixo y: vetor unitário (0,1):
D_{(0,1)}f(1,1)=1.
  • Direção da diagonal (o gradiente normalizado): \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right):
D_{\mathbf{u}}f(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot\mathbf{u}=\,(1,1)\cdot\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2},
que é maior que 1. Portanto faz sentido: a melhor direção é a diagonal (1,1).

Resposta

A direção de máximo crescimento em (1,1) é a direção do gradiente \nabla f(1,1)=(1,1).
O vetor unitário nessa direção é \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).

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