Encontre os pontos do cilindro x^{2}+y^{2}=4 mais próximos de (3,1,5).

Passo 1

O enunciado dá a superfície do cilindro e um ponto e pede os pontos do cilindro mais próximos desse ponto. Dados e perguntas listados claramente:
  • Dado: cilindro \;x^{2}+y^{2}=4\; (ou seja, a circunferência de raio 2 no plano xy, com z livre).
  • Dado: ponto \;(3,1,5).
  • Pergunta: encontrar os pontos do cilindro que minimizam a distância até (3,1,5).

Passo 2

Estratégia simplificada (ideia principal a entender): minimizar a distância é o mesmo que minimizar o quadrado da distância, porque a função raiz quadrada é crescente. Trabalhar com o quadrado elimina a raiz e facilita contas. Definimos a função distância ao quadrado entre um ponto qualquer (x,y,z) e (3,1,5):
D^{2}(x,y,z)=(x-3)^{2}+(y-1)^{2}+(z-5)^{2}.
Queremos minimizar \;D^{2}(x,y,z)\; sujeito à restrição \;x^{2}+y^{2}=4.

Passo 3

Observe que a parte que envolve z em D^{2} é separada: (z-5)^{2}. Para qualquer ponto (x,y) fixo, o termo (z-5)^{2} é mínimo quando z=5. Logo, no ponto de mínimo global sobre o cilindro devemos ter
z=5.
Dessa forma reduzimos o problema a um problema em duas dimensões: encontrar (x,y) sobre a circunferência \;x^{2}+y^{2}=4\; que minimiza
d^{2}(x,y)=(x-3)^{2}+(y-1)^{2}.

Passo 4

Interpretação geométrica do problema 2D (intuição): dado o ponto (3,1) no plano, queremos o ponto da circunferência de raio 2 centrada em (0,0) que fique mais próximo de (3,1). Geometricamente, o ponto mais próximo é o ponto da circunferência que está na mesma direção (radial) do centro até (3,1): isto é, projeta-se o vetor (3,1) sobre a circunferência de raio 2. Vou dar também uma justificativa algébrica curta usando multiplicadores de Lagrange (para ver a razão rigorosa).

Passo 5

Justificativa por multiplicadores de Lagrange (passo a passo, sem pular etapas):
  • Queremos minimizar d^{2}(x,y) com restrição g(x,y)=x^{2}+y^{2}-4=0.
  • Gradiente de d^{2}: \nabla d^{2}(x,y)=2(x-3,\,y-1).
  • Gradiente da restrição: \nabla g(x,y)=2(x,y).
  • Condição de Lagrange: existem \lambda tal que
\nabla d^{2}(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y).
Ou seja,
2(x-3,\,y-1)=\lambda\,2(x,y).
Dividindo por 2 e escrevendo como sistema:
(x-3,\,y-1)=\lambda(x,y).
Isto é equivalente ao sistema de duas equações:
x-3=\lambda x,\qquad y-1=\lambda y.
Reescrevendo:
x(1-\lambda)=3,\qquad y(1-\lambda)=1.
Se 1-\lambda=0 então as equações não têm consistência com os números 3 e 1 simultaneamente, então 1-\lambda\neq0 e podemos dividir por ele. Assim existe t tal que
x=t\cdot 3,\qquad y=t\cdot 1,
ou seja, (x,y)=t(3,1). Isso mostra algebraicamente que o ponto ótimo está na mesma direção radial de (3,1) a partir da origem — exatamente a intuição geométrica.

Passo 6

Determinar o escalar t usando a restrição \;x^{2}+y^{2}=4. Substituindo (x,y)=t(3,1) obtemos
(3t)^{2}+(1t)^{2}=4.
Logo
9t^{2}+t^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad 10t^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad t^{2}=\frac{2}{5}.
Como o ponto buscado está na direção do vetor (3,1) vindo do centro para o ponto (3,1), tomamos t>0, então
t=\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{2}{\sqrt{10}}.

Passo 7

Calcular as coordenadas (x,y,z). Com t=\dfrac{2}{\sqrt{10}} obtemos
x=3t=\frac{6}{\sqrt{10}},\qquad y=1\cdot t=\frac{2}{\sqrt{10}},\qquad z=5.
É comum racionalizar denominadores; escrevendo de forma equivalente:
x=\frac{3\sqrt{10}}{5},\qquad y=\frac{\sqrt{10}}{5},\qquad z=5.
Esse é o ponto do cilindro mais próximo de (3,1,5). A solução é única porque a projeção radial de um ponto externo a uma circunferência no plano produz um único ponto mais próximo.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{3\sqrt{10}}{5},\;\frac{\sqrt{10}}{5},\;5\right)

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