Encontre os pontos do cilindro
mais próximos de
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície do cilindro e um ponto e pede os pontos do cilindro mais próximos desse ponto. Dados e perguntas listados claramente:
- Dado: cilindro
(ou seja, a circunferência de raio no plano , com livre). - Dado: ponto
. - Pergunta: encontrar os pontos do cilindro que minimizam a distância até
.
Passo 2
Estratégia simplificada (ideia principal a entender): minimizar a distância é o mesmo que minimizar o quadrado da distância, porque a função raiz quadrada é crescente. Trabalhar com o quadrado elimina a raiz e facilita contas. Definimos a função distância ao quadrado entre um ponto qualquer
e
:
Queremos minimizar
sujeito à restrição
.
Passo 3
Observe que a parte que envolve
em
é separada:
. Para qualquer ponto
fixo, o termo
é mínimo quando
. Logo, no ponto de mínimo global sobre o cilindro devemos ter
Dessa forma reduzimos o problema a um problema em duas dimensões: encontrar
sobre a circunferência
que minimiza
Passo 4
Interpretação geométrica do problema 2D (intuição): dado o ponto
no plano, queremos o ponto da circunferência de raio
centrada em
que fique mais próximo de
. Geometricamente, o ponto mais próximo é o ponto da circunferência que está na mesma direção (radial) do centro até
: isto é, projeta-se o vetor
sobre a circunferência de raio
. Vou dar também uma justificativa algébrica curta usando multiplicadores de Lagrange (para ver a razão rigorosa).
Passo 5
Justificativa por multiplicadores de Lagrange (passo a passo, sem pular etapas):
- Queremos minimizar
com restrição . - Gradiente de
: . - Gradiente da restrição:
. - Condição de Lagrange: existem
tal que
Ou seja,
Dividindo por
e escrevendo como sistema:
Isto é equivalente ao sistema de duas equações:
Reescrevendo:
Se
então as equações não têm consistência com os números
e
simultaneamente, então
e podemos dividir por ele. Assim existe
tal que
ou seja,
. Isso mostra algebraicamente que o ponto ótimo está na mesma direção radial de
a partir da origem — exatamente a intuição geométrica.
Passo 6
Determinar o escalar
usando a restrição
. Substituindo
obtemos
Logo
Como o ponto buscado está na direção do vetor
vindo do centro para o ponto
, tomamos
, então
Passo 7
Calcular as coordenadas
. Com
obtemos
É comum racionalizar denominadores; escrevendo de forma equivalente:
Esse é o ponto do cilindro mais próximo de
. A solução é única porque a projeção radial de um ponto externo a uma circunferência no plano produz um único ponto mais próximo.