Classifique os pontos críticos das funções abaixo
Passo 1
Nesta questão vamos classificar os pontos críticos da função de duas variáveis dada por
. O que precisamos aqui é calcular as derivadas parciais para achar os pontos críticos e depois analisar a matriz Hessiana para ver se são mínimos, máximos ou pontos de sela.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos ambas a zero. Como
para todo
, temos
e
, ou seja, o único ponto crítico é
.
Passo 3
Agora montamos a matriz Hessiana
, cujos elementos são as segundas derivadas:
No ponto
, isso fica:
Passo 4
Para classificar o ponto
, verificamos os menores principais da Hessiana em
:
-
; -
.
Como todos os menores principais são positivos, a Hessiana é definida positiva em, logo é um ponto de mínimo local. Além disso, pela forma da função exponencial, esse é também o mínimo global.
Passo 5
Aí está: o único ponto crítico é
e ele é um ponto de mínimo.
Resposta
O único ponto crítico é (0,0), que é ponto de mínimo local (e global).