Classifique os pontos críticos das funções abaixo
f(x, y)=e^1+x^2+y^2

Passo 1

Nesta questão vamos classificar os pontos críticos da função de duas variáveis dada por f(x,y)=e^1+x^2+y^2. O que precisamos aqui é calcular as derivadas parciais para achar os pontos críticos e depois analisar a matriz Hessiana para ver se são mínimos, máximos ou pontos de sela.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=2x,e^1+x^2+y^2,
partial fpartial y=2y,e^1+x^2+y^2
Para encontrar os pontos críticos, igualamos ambas a zero. Como e^1+x^2+y^2>0 para todo (x,y), temos 2x=0 e 2y=0, ou seja, o único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Agora montamos a matriz Hessiana Hf, cujos elementos são as segundas derivadas:
partial^2 fpartial x^2=2e^1+x^2+y^2+4x^2e^1+x^2+y^2=2(1+2x^2)e^1+x^2+y^2,
partial^2 fpartial y^2=2(1+2y^2)e^1+x^2+y^2,
partial^2 fpartial xpartial y=4xy,e^1+x^2+y^2
No ponto (0,0), isso fica:
partial^2 fpartial x^2(0,0)=2e,
partial^2 fpartial y^2(0,0)=2e,
partial^2 fpartial xpartial y(0,0)=0

Passo 4

Para classificar o ponto (0,0), verificamos os menores principais da Hessiana em (0,0):
  1. D1=partial^2 fpartial x^2(0,0)=2e>0;
  2. D2=det Hf(0,0)=l(2er)cdotl(2er)-0^2=4e^2>0.
    Como todos os menores principais são positivos, a Hessiana é definida positiva em (0,0), logo (0,0) é um ponto de mínimo local. Além disso, pela forma da função exponencial, esse é também o mínimo global.

Passo 5

Aí está: o único ponto crítico é (0,0) e ele é um ponto de mínimo.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), que é ponto de mínimo local (e global).

Exercícios relacionados