(a) Determinar o ponto situado no primeiro octante da superfície de equação
no qual a reta normal é perpendicular ao plano
.
(b) Determine a equação do plano tangente à superfície neste ponto.
(b) Determine a equação do plano tangente à superfície neste ponto.
Passo 1
Resumo: temos a superfície definida por
e o plano
. Precisamos achar o ponto no primeiro octante cuja reta normal à superfície seja perpendicular a esse plano e, depois, encontrar a equação do plano tangente nesse ponto. Vamos usar gradiente, condição de paralelismo e a fórmula do plano tangente.
Passo 2
O vetor normal à superfície em um ponto
é dado pelo gradiente de
:
Passo 3
Para que a reta normal à superfície em
seja perpendicular ao plano
, seu vetor direção
deve ser paralelo ao vetor normal do plano, que é
. Logo, existe
tal que
Isto gera o sistema
e, portanto,
Passo 4
Substituindo essas expressões na equação da superfície:
Calculando:
leva a
, então
. No primeiro octante escolhemos
, dando
Passo 5
Agora o plano tangente em
usa a fórmula
Como
, temos
Resposta
O ponto procurado é (3,1,2) e a equação do plano tangente nesse ponto é x+y+z=6.