(a) Determinar o ponto situado no primeiro octante da superfície de equação x^2+3 y^2+32 z^2=18 no qual a reta normal é perpendicular ao plano x+y+z=10.
(b) Determine a equação do plano tangente à superfície neste ponto.

Passo 1

Resumo: temos a superfície definida por F(x,y,z)=x^2+3y^2+tfrac32z^2-18=0 e o plano x+y+z=10. Precisamos achar o ponto no primeiro octante cuja reta normal à superfície seja perpendicular a esse plano e, depois, encontrar a equação do plano tangente nesse ponto. Vamos usar gradiente, condição de paralelismo e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

O vetor normal à superfície em um ponto P=(x,y,z) é dado pelo gradiente de F:
nabla F(x,y,z)=(2x,,6y,,3z)

Passo 3

Para que a reta normal à superfície em P seja perpendicular ao plano x+y+z=10, seu vetor direção nabla F(P) deve ser paralelo ao vetor normal do plano, que é (1,1,1). Logo, existe lambda tal que
(2x,6y,3z)=lambda(1,1,1)
Isto gera o sistema
2x=lambda, 6y=lambda, 3z=lambda
e, portanto,
x=lambda2, y=lambda6, z=lambda3

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação da superfície:
l(lambda2r)^2+3l(lambda6r)^2+tfrac32l(lambda3r)^2=18
Calculando: lambda^24+lambda^212+lambda^26=18 leva a tfraclambda^22=18, então lambda^2=36. No primeiro octante escolhemos lambda=6, dando
x=3, ;y=1, ;z=2

Passo 5

Agora o plano tangente em P=(3,1,2) usa a fórmula
nabla F(P)cdotl((x,y,z)-(3,1,2)r)=0
Como nabla F(3,1,2)=(6,6,6), temos
6(x-3)+6(y-1)+6(z-2)=0Longrightarrow x+y+z=6

Resposta

O ponto procurado é (3,1,2) e a equação do plano tangente nesse ponto é x+y+z=6.

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