Não calcule a integral e demonstre 2 <= integral-1^1 raiz1+x^2 d x <= 2 raiz2

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que
vamos usar o conteúdo de integrais definidas e, em especial, a propriedade de comparação (monotonicidade) de integrais: se duas funções integráveis satisfazem f(x) ≤ g(x) em todo o intervalo [a,b], então
integrala^b f(x),dx <= integrala^b g(x),dx
Não vamos calcular de fato a integral, apenas compará-la a integrais de funções mais simples.

Passo 2

Para obter o limite inferior, note que para todo x em [-1,1] vale x^2 ≥ 0, então
raiz1+x^2 >= raiz1+0 = 1

Passo 3

Aplicando a monotonicidade das integrais, obtemos
integral-1^1 raiz1+x^2,dx >= integral-1^1 1,dx = l[xr]-1^1 = 1 - (-1) = 2

Passo 4

Para o limite superior, observamos que em [-1,1] temos x^2 ≤ 1, logo
raiz1+x^2 <= raiz1+1 = raiz2

Passo 5

De novo usando monotonicidade, segue
integral-1^1 raiz1+x^2,dx <= integral-1^1 raiz2,dx = raiz2 cdot l[xr]-1^1 = raiz2 cdot 2 = 2raiz2

Passo 6

Combinando os dois resultados, concluímos a desigualdade desejada.

Resposta

2 <= integral-1^1 raiz1+x^2,dx <= 2raiz2

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