Mostre que todas as retas normais a um esfera passam pelo centro da mesma.
Passo 1
Temos uma esfera de centro e raio . O objetivo é mostrar que, para qualquer ponto da superfície da esfera, a reta normal à esfera em passa pelo centro . Vamos usar o conceito de superfícies implícitas e o gradiente para encontrar a direção normal.
Passo 2
Definimos a função
que descreve a esfera pelo nível . O gradiente de dá a direção normal à superfície em cada ponto. Calculamos:
Passo 3
No ponto da esfera, temos . Então
Isso mostra que a direção normal em P coincide com a direção do vetor CP.
Passo 4
A reta normal à esfera em P pode ser escrita em forma paramétrica como
ell(t) = P + t,nabla F(P) = P + 2t,CP
Se escolhermos t=-tfrac12, obtemos
ell(-tfrac12)=P-CP=C,
logo o centro C pertence a essa reta.
Passo 5
Concluímos que, em qualquer ponto P da esfera, a reta normal à superfície passa pelo centro C.
Resposta
Como o gradiente da função implícita da esfera em qualquer ponto P é paralelo ao vetor CP, a reta normal em P contém o centro C. Portanto, todas as retas normais a uma esfera passam pelo seu centro.