Mostre que todas as retas normais a um esfera passam pelo centro da mesma.

Passo 1

Temos uma esfera de centro C=(x0,y0,z0) e raio r. O objetivo é mostrar que, para qualquer ponto P da superfície da esfera, a reta normal à esfera em P passa pelo centro C. Vamos usar o conceito de superfícies implícitas e o gradiente para encontrar a direção normal.

Passo 2

Definimos a função
F(x,y,z) = (x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 - r^2
que descreve a esfera pelo nível F(x,y,z)=0. O gradiente de F dá a direção normal à superfície em cada ponto. Calculamos:
nabla F(x,y,z) = l(2(x - x0),;2(y - y0),;2(z - z0)r)

Passo 3

No ponto P=(x1,y1,z1) da esfera, temos (x1-x0)^2+(y1-y0)^2+(z1-z0)^2=r^2. Então
nabla F(P) = l(2(x1 - x0),;2(y1 - y0),;2(z1 - z0)r) = 2CP
Isso mostra que a direção normal em P coincide com a direção do vetor CP.

Passo 4

A reta normal à esfera em P pode ser escrita em forma paramétrica como
ell(t) = P + t,nabla F(P) = P + 2t,CP
Se escolhermos t=-tfrac12, obtemos
ell(-tfrac12)=P-CP=C,
logo o centro C pertence a essa reta.

Passo 5

Concluímos que, em qualquer ponto P da esfera, a reta normal à superfície passa pelo centro C.

Resposta

Como o gradiente da função implícita da esfera em qualquer ponto P é paralelo ao vetor CP, a reta normal em P contém o centro C. Portanto, todas as retas normais a uma esfera passam pelo seu centro.

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