Nos Problemas 13 e 14 , resolva o sistema dado, sujeito às condições iniciais indicadas.
13. X^prime=(rr12 & 0 1 & -12) X, X(0)=binom35

Passo 1

Temos o sistema X'=AX com A=tfrac12&01&-tfrac12 e condição inicial X(0)=binom35. Como a matriz é triangular, resolvemos primeiro a equação para x1 e depois usamos esse resultado em x2'.

Passo 2

Da primeira componente temos x1'=tfrac12x1. Essa EDO simples tem solução geral x1(t)=Ce^t/2. Imponto x1(0)=3 obtemos C=3, logo x1(t)=3e^t/2.

Passo 3

A segunda componente satisfaz x2'=-tfrac12x2+x1(t). Substituindo x1(t)=3e^t/2, fica x2'+tfrac12x2=3e^t/2. Usamos fator integrante mu(t)=e^integraltfrac12dt=e^t/2. Multiplicando, ddt(x2e^t/2)=3e^t. Integrando, x2e^t/2=3e^t+C e então x2(t)=3e^t/2+Ce^-t/2.

Passo 4

Impondo a condição inicial x2(0)=5 em x2(0)=3+C, achamos C=2. Assim x2(t)=3e^t/2+2e^-t/2.

Resposta

X(t)=binom3e^t/23e^t/2+2e^-t/2

Exercícios relacionados