Classifique os pontos críticos das funções em \mathbb{R}^{2} a seguir:
1. f(x, y)=x^{3}+2 y^{2}-4 x^{2}-4 x y+11
Passo 1
O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}
f(x,y)=x^{3}+2y^{2}-4x^{2}-4xy+11
e pede para classificar os pontos críticos dessa função em \mathbb{R}^{2}.
Informações relevantes fornecidas:
A expressão explícita de f(x,y).
O objetivo: encontrar os pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e dizer se cada um é mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Passo 2
Conceito e cálculo das derivadas parciais (gradiente).
Um ponto crítico é um ponto onde o vetor gradiente \nabla f é o vetor nulo. O gradiente tem componentes as derivadas parciais:
Calculemos as derivadas parciais de f termo a termo:
Derivada de x^{3} em relação a x é 3x^{2}.
Derivada de -4x^{2} em relação a x é -8x.
Derivada de -4xy em relação a x é -4y.
Os termos em y^{2} e constante não contribuem para \partial f/\partial x.
Logo
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^{2}-8x-4y.
Para \partial f/\partial y:
Derivada de 2y^{2} em relação a y é 4y.
Derivada de -4xy em relação a y é -4x.
Portanto
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=4y-4x.
Passo 3
Encontrar pontos críticos resolvendo o sistema \nabla f(x,y)=0\), isto é:
\[\begin{cases} 3x^{2}-8x-4y=0,\\[4pt] 4y-4x=0. \end{cases}
Da segunda equação segue imediatamente
4y-4x=0 \quad\Rightarrow\quad y=x.
Substituindo y=x\] na primeira equação:
\[3x^{2}-8x-4x=3x^{2}-12x=3x(x-4)=0.\]
Logo as soluções são \(x=0 e x=4. Usando y=x obtemos os pontos críticos:
(0,0)\quad\text{e}\quad(4,4).]
Passo 4
Método de classificação: matriz Hessiana e teste das derivadas segundas.
A matriz Hessiana H é a matriz das segundas derivadas:
Aqui D(4,4)=48>0 e \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(4,4)=16>0, portanto pelo teste (4,4) é um mínimo local. (Se quiser, o valor da função nesse ponto é f(4,4)= -21, mas isso não altera a classificação.)