Classifique os pontos críticos das funções em \mathbb{R}^{2} a seguir:
1.
f(x, y)=x^{3}+2 y^{2}-4 x^{2}-4 x y+11

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}
f(x,y)=x^{3}+2y^{2}-4x^{2}-4xy+11
e pede para classificar os pontos críticos dessa função em \mathbb{R}^{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f(x,y).
  • O objetivo: encontrar os pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e dizer se cada um é mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 2

Conceito e cálculo das derivadas parciais (gradiente).
Um ponto crítico é um ponto onde o vetor gradiente \nabla f é o vetor nulo. O gradiente tem componentes as derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right).
Calculemos as derivadas parciais de f termo a termo:
  • Derivada de x^{3} em relação a x é 3x^{2}.
  • Derivada de -4x^{2} em relação a x é -8x.
  • Derivada de -4xy em relação a x é -4y.
    Os termos em y^{2} e constante não contribuem para \partial f/\partial x.
    Logo
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^{2}-8x-4y.
Para \partial f/\partial y:
  • Derivada de 2y^{2} em relação a y é 4y.
  • Derivada de -4xy em relação a y é -4x.
    Portanto
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=4y-4x.

Passo 3

Encontrar pontos críticos resolvendo o sistema \nabla f(x,y)=0\), isto é: \[\begin{cases} 3x^{2}-8x-4y=0,\\[4pt] 4y-4x=0. \end{cases}
Da segunda equação segue imediatamente
4y-4x=0 \quad\Rightarrow\quad y=x.
Substituindo y=x\] na primeira equação: \[3x^{2}-8x-4x=3x^{2}-12x=3x(x-4)=0.\] Logo as soluções são \(x=0 e x=4. Usando y=x obtemos os pontos críticos:
(0,0)\quad\text{e}\quad(4,4).]

Passo 4

Método de classificação: matriz Hessiana e teste das derivadas segundas.
A matriz Hessiana H é a matriz das segundas derivadas:
H(x,y)=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\\[6pt] \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
O teste em \mathbb{R}^{2} usa o determinante D=\det H no ponto crítico:
  • Se D>0 e \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}>0 no ponto, é mínimo local.
  • Se D>0 e \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}<0 no ponto, é máximo local.
  • Se D<0, é ponto de sela.
  • Se D=0, o teste é inconclusivo.]

Passo 5

Calcular as segundas derivadas gerais:
\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)=6x-8,\qquad \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)=4,\qquad \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)=-4.
Agora avaliar em cada ponto crítico.
Para (0,0):
\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(0,0)=6\cdot0-8=-8, \qquad \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(0,0)=4, \qquad \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0)=-4.
O determinante do Hessiano é
D(0,0)=(-8)\cdot 4 - (-4)^{2}=-32-16=-48.
Como D(0,0)=-48<0, pelo teste temos que (0,0) é um ponto de sela.

Passo 6

Para (4,4):
\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(4,4)=6\cdot4-8=24-8=16, \qquad \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(4,4)=4, \qquad \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(4,4)=-4.
O determinante do Hessiano é
D(4,4)=16\cdot 4 - (-4)^{2}=64-16=48.
Aqui D(4,4)=48>0 e \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(4,4)=16>0, portanto pelo teste (4,4) é um mínimo local. (Se quiser, o valor da função nesse ponto é f(4,4)= -21, mas isso não altera a classificação.)

Resposta

(0,0) — ponto de sela\n
(4,4) — mínimo local

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