Classifique os pontos críticos de:
(i) 
 
(i)
Passo 1
Vamos lá! O problema pede para a gente classificar os pontos críticos da função 
 . Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente analisando pontos críticos – aqueles onde as derivadas parciais são zero. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar onde elas são iguais a zero e, depois, determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela usando o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de 
  em relação a 
  e 
 .
A derivada parcial de 
  em relação a 
  é:
A derivada parcial de 
  em relação a 
  é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos 
  onde ambas as derivadas parciais são zero:
Sabemos que 
  nunca é zero para nenhum valor real de 
 . Portanto, podemos simplificar as equações:
Isso acontece quando 
 , onde 
  é qualquer inteiro.
Passo 4
Com os valores de 
  identificados, agora vamos determinar os valores de 
 . Como 
  nunca é zero, a única condição para 
  e 
  é que 
 . Assim, os pontos críticos são todos os pares 
  onde 
  e 
  pode ser qualquer número real.
Passo 5
Para classificar esses pontos críticos, vamos usar o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Agora, calculamos o determinante Hessiano 
 :
Passo 6
Vamos avaliar o Hessiano nos pontos críticos 
 . Nesses pontos:
Então:
Substituindo no determinante Hessiano:
Quando o determinante Hessiano é zero, o teste é inconclusivo. Portanto, precisamos analisar a função de outra maneira para determinar a natureza desses pontos.
Observando a função 
 , percebemos que para 
 , 
  para quaisquer 
 . Além disso, perto desses pontos, o termo 
  é sempre não negativo, o que indica que os pontos críticos são pontos de mínimo global, já que a função não assume valores negativos.
Resposta
Todos os pontos 
 , com 
  e 
  real, são pontos de mínimo global da função 
 .