O ponto 
  é um ponto crítico de cada funções seguintes. Que tipo de ponto crítico é?
(b) 
 
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função 
  e o ponto crítico é 
 . Nosso objetivo aqui é descobrir que tipo de ponto crítico é esse. Para isso, vamos precisar usar a análise de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de 
  em relação a 
  e 
 . Isso nos ajuda a confirmar que 
  é mesmo um ponto crítico.
A derivada parcial em relação a 
  é:
E a derivada parcial em relação a 
  é:
No ponto 
 , ambas as derivadas parciais são zero:
Então, 
  é realmente um ponto crítico.
Passo 3
Agora, para determinar o tipo de ponto crítico, vamos usar o teste da segunda derivada. Vamos calcular as segundas derivadas parciais:
No ponto 
 :
Passo 4
O próximo passo é calcular o discriminante 
 , que é dado por:
Substituindo os valores no ponto 
 :
Quando o discriminante 
 , o teste da segunda derivada é inconclusivo. Então, precisamos analisar a função de outra maneira.
Passo 5
Vamos olhar a função 
 . Sabemos que 
  e 
  são sempre positivos ou zero, já que qualquer número elevado a uma potência par é positivo. Assim, 
  nunca é negativo e é igual a zero somente quando 
  e 
 .
Isso significa que 
  atinge seu mínimo valor no ponto 
 .
Resposta
O ponto crítico 
  é um mínimo local da função 
 .