Classifique os pontos críticos como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos classificar o ponto crítico
como um máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para fazer isso, vamos utilizar o teste da segunda derivada, que nos ajuda a determinar a natureza dos pontos críticos em funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função. Supondo que a função seja
, calculamos:
Essas derivadas nos dão informações sobre a curvatura da função em relação a cada variável.
Passo 3
Com as derivadas parciais calculadas no ponto
, formamos o discriminante
:
O discriminante
nos ajudará a determinar o tipo de ponto crítico que temos.
Passo 4
Agora, vamos analisar o valor de
:
- Se
e , então o ponto é um mínimo local. - Se
e , então o ponto é um máximo local. - Se
, então o ponto é um ponto de sela.
Isso significa que, dependendo dos valores das derivadas parciais, podemos classificar o ponto crítico de forma adequada.
Resposta
Após calcular o discriminante
e analisar os sinais das derivadas parciais, o ponto crítico
é um mínimo local, máximo local ou ponto de sela, conforme explicado nos passos anteriores.