Use diferenciais para aproximar o valor de f em um dado ponto.
f(x, y, z) = x^2 * y^3 * z^4, (1.05, 0.9, 3.01)

Passo 1

Beleza, então a gente tem que usar diferenciais para aproximar o valor da função no ponto próximo a . A ideia aqui é usar a linearização da função, que basicamente nos dá uma estimativa rápida sem precisar calcular tudo de novo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um ponto base próximo onde os cálculos são mais simples. Vou escolher o ponto porque está muito próximo de e as potências de x e z serão mais fáceis de calcular.

Passo 3

Agora, vamos calcular no ponto base :

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :

Passo 5

Vamos avaliar essas derivadas no ponto base :

Passo 6

Agora, vamos calcular as variações , e entre o ponto base e o ponto dado:

Passo 7

Usando a fórmula da diferencial, a aproximação fica:

Passo 8

Finalmente, para aproximar o valor de no ponto , somamos ao valor da função no ponto base:

Resposta

O valor aproximado de é 65.738.

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