Classifique os pontos críticos da seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa classificar os pontos críticos da função
. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Multivariável, mais especificamente no estudo de Derivadas Parciais e Classificação de Pontos Críticos. Para isso, a gente vai precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar onde elas são iguais a zero (os pontos críticos) e depois usar a segunda derivada para classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente iguala as derivadas parciais a zero e resolve o sistema de equações:
Vamos simplificar essas equações dividindo ambas por 3:
Da equação (1), podemos isolar
:
Agora, substituímos essa expressão na equação (2):
Dividindo ambos os lados por
(considerando que
):
Agora, substituímos
na expressão para
:
Além disso, verificamos o caso onde
:
Substituindo
na equação (1):
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora que encontramos os pontos críticos, vamos classificá-los usando o Teste da Segunda Derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas:
O determinante da matriz Hessiana é dado por:
Vamos calcular
em cada ponto crítico.
Para o ponto (2, -2):
Então,
Como
e
, esse ponto é um mínimo local.
Para o ponto (0, 0):
Então,
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função
são
, que é um mínimo local, e
, que é um ponto de sela.