Classifique os pontos críticos da seguinte função:
f(x, y)=x^3-y^3+6 x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa classificar os pontos críticos da função . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Multivariável, mais especificamente no estudo de Derivadas Parciais e Classificação de Pontos Críticos. Para isso, a gente vai precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar onde elas são iguais a zero (os pontos críticos) e depois usar a segunda derivada para classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função fx = partial fpartial x = 3x^2 + 6y em relação a fy = partial fpartial y = -3y^2 + 6x e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente iguala as derivadas parciais a zero e resolve o sistema de equações:
3x^2 + 6y = 0 -3y^2 + 6x = 0
Vamos simplificar essas equações dividindo ambas por 3:
x^2 + 2y = 0 (1) -y^2 + 2x = 0 (2)
Da equação (1), podemos isolar y = -x^22 :
- (-x^22)^2 + 2x = 0 - x^44 + 2x = 0 x^44 = 2x x^4 = 8x
Agora, substituímos essa expressão na equação (2):
x^3 = 8 x = 2
Dividindo ambos os lados por y = -2^22 = -2 (considerando que 0 + 2y = 0 y = 0 ):
Agora, substituímos na expressão para :
Além disso, verificamos o caso onde :
Substituindo na equação (1):
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora que encontramos os pontos críticos, vamos classificá-los usando o Teste da Segunda Derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -6y
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 6
O determinante da matriz Hessiana é dado por:
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2
Vamos calcular fxx = 6 times 2 = 12 fyy = -6 times (-2) = 12 fxy = 6 em cada ponto crítico.
Para o ponto (2, -2):
D = 12 times 12 - 6^2 = 144 - 36 = 108 > 0
Então,
fxx = 6 times 0 = 0 fyy = -6 times 0 = 0 fxy = 6
Como D = 0 times 0 - 6^2 = -36 < 0 e , esse ponto é um mínimo local.
Para o ponto (0, 0):
Então,
Como , esse ponto é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são , que é um mínimo local, e , que é um ponto de sela.

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