Determine a equação do plano tangente à superfície z=x^2+x y+y^2, e paralelo ao plano x+2 y+3 z=15.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície que seja paralelo ao plano .
Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente sobre superfícies e planos tangentes. Vamos precisar calcular as derivadas parciais para achar o plano tangente e verificar as condições para que ele seja paralelo ao outro plano fornecido.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor normal ao plano tangente da superfície z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0) . Isso envolve calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A equação geral do plano tangente em um ponto da superfície é:
Onde e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de fx = partial zpartial x = 2x + y :
fy = partial zpartial y = x + 2y
Essas derivadas nos dão a inclinação da superfície nas direções de e , e serão usadas para determinar a equação do plano tangente.

Passo 4

Agora, queremos que o plano tangente seja paralelo ao plano n2 = k cdot n1 . Dois planos são paralelos se seus vetores normais forem proporcionais.
O vetor normal do plano dado é .
O vetor normal do plano tangente é formado pelas derivadas parciais e é .
Para que os planos sejam paralelos:
Onde é uma constante.

Passo 5

Substituindo (- (2x + y), - (x + 2y), 1) = k cdot (1, 2, 3) e - (2x + y) = k cdot 1 (1) nas componentes de - (x + 2y) = k cdot 2 (2) :
1 = k cdot 3 (3)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo a equação (3):
1 = 3k implies k = 13
Agora, substituímos - (2x + y) = 13 (1) nas equações (1) e (2):
- (x + 2y) = 23 (2)

Passo 7

Multiplicando ambas as equações por 3 para eliminar os denominadores:
-6x - 3y = 1 (1)
-3x - 6y = 2 (2)
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por -1:
6x + 3y = -1 (1)
3x + 6y = -2 (2)

Passo 8

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos multiplicar a equação (1) por 2 e a equação (2) por 1 para facilitar a eliminação:
12x + 6y = -2 (1 times 2)
3x + 6y = -2 (2 times 1)
Subtraindo a segunda equação da primeira:
12x + 6y - (3x + 6y) = -2 - (-2)
9x = 0 implies x = 0

Passo 9

Substituindo 6(0) + 3y = -1 implies 3y = -1 implies y = -13 na equação (1):

Passo 10

Agora que temos z = (0)^2 + (0)(-13) + (-13)^2 = 0 + 0 + 19 = 19 e , encontramos substituindo na equação da superfície:

Resposta

A equação do plano tangente é:
z - 19 = 13(x - 0) + (-13)(y - (-13))
Simplificando, temos:
z = 13x - 13y + 19 + 19 = 13x - 13y + 29
Ou, em forma geral:
x - y + 3z = 2

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