Determine a equação do plano tangente à superfície
, e paralelo ao plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície
que seja paralelo ao plano
.
Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente sobre superfícies e planos tangentes. Vamos precisar calcular as derivadas parciais para achar o plano tangente e verificar as condições para que ele seja paralelo ao outro plano fornecido.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor normal ao plano tangente da superfície
. Isso envolve calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A equação geral do plano tangente em um ponto
da superfície
é:
Onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Essas derivadas nos dão a inclinação da superfície nas direções de
e
, e serão usadas para determinar a equação do plano tangente.
Passo 4
Agora, queremos que o plano tangente seja paralelo ao plano
. Dois planos são paralelos se seus vetores normais forem proporcionais.
O vetor normal do plano dado é
.
O vetor normal do plano tangente é formado pelas derivadas parciais e é
.
Para que os planos sejam paralelos:
Onde
é uma constante.
Passo 5
Substituindo
e
nas componentes de
:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo a equação (3):
Agora, substituímos
nas equações (1) e (2):
Passo 7
Multiplicando ambas as equações por 3 para eliminar os denominadores:
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por -1:
Passo 8
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos multiplicar a equação (1) por 2 e a equação (2) por 1 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Passo 9
Substituindo
na equação (1):
Passo 10
Agora que temos
e
, encontramos
substituindo na equação da superfície:
Resposta
A equação do plano tangente é:
Simplificando, temos:
Ou, em forma geral: