Classifique os pontos críticos de
Passo 1
Neste exercício a gente vai classificar os pontos críticos da função
. O conteúdo é extremização de funções de duas variáveis e vamos precisar achar as derivadas parciais, resolver o sistema
e usar o teste da matriz Hessiana.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais em
e
. A derivada parcial em relação a
é
e em relação a
é
. Igualamos ambas a zero para encontrar os candidatos a extremos.
Passo 3
Resolver o sistema
. Da primeira equação vem
ou
. Se
, a segunda fica
, gerando
e
. Se
, a segunda fica
, gerando
e
.
Passo 4
Montar e aplicar o teste da Hessiana. A matriz Hessiana é
O teste diz: se
e
é mínimo; se
e
é máximo; se
é ponto de sela.
Passo 5
Avaliação em cada ponto:
em
:
,
,
,
e
, logo máximo local;
em
:
,
,
,
e
, logo mínimo local;
em
:
,
,
,
, logo ponto de sela;
em
:
,
,
,
, logo ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos são
máximo local,
mínimo local,
ponto de sela e
ponto de sela.