Classifique os pontos críticos de
f(x, y)=x^2 y+13 y^3-x^2-y^2+2

Passo 1

Neste exercício a gente vai classificar os pontos críticos da função f(x,y)=x^2y+tfrac13y^3-x^2-y^2+2. O conteúdo é extremização de funções de duas variáveis e vamos precisar achar as derivadas parciais, resolver o sistema nabla f=0 e usar o teste da matriz Hessiana.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais em x e y. A derivada parcial em relação a x é partial fpartial x=2xy-2x=2x(y-1) e em relação a y é partial fpartial y=x^2+y^2-2y. Igualamos ambas a zero para encontrar os candidatos a extremos.

Passo 3

Resolver o sistema 2x(y-1)=0,;x^2+y^2-2y=0. Da primeira equação vem x=0 ou y=1. Se x=0, a segunda fica y(y-2)=0, gerando (0,0) e (0,2). Se y=1, a segunda fica x^2-1=0, gerando (1,1) e (-1,1).

Passo 4

Montar e aplicar o teste da Hessiana. A matriz Hessiana é
D^2f(x,y)=2(y-1)&2x2x&2y-2
O teste diz: se det D^2f>0 e fxx>0 é mínimo; se det D^2f>0 e fxx<0 é máximo; se det D^2f<0 é ponto de sela.

Passo 5

Avaliação em cada ponto:
em (0,0): fxx=-2, fyy=-2, fxy=0, det=4>0 e fxx<0, logo máximo local;
em (0,2): fxx=2, fyy=2, fxy=0, det=4>0 e fxx>0, logo mínimo local;
em (1,1): fxx=0, fyy=0, fxy=2, det=-4<0, logo ponto de sela;
em (-1,1): fxx=0, fyy=0, fxy=-2, det=-4<0, logo ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos são (0,0) máximo local, (0,2) mínimo local, (1,1) ponto de sela e (-1,1) ponto de sela.

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