Encontre os valores máximo e mínimo da função f(x, y)=(x-2)^2(y-1)+y na região do plano
R=(x, y) mid x >= 0, y >= 0, x+y <= 4

Passo 1

O exercício busca os extremos (máximo e mínimo) da função f(x,y) na região triangular R dada por x≥0, y≥0 e x+y≤4. O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis em região fechada, e vamos precisar calcular derivadas parciais para achar pontos críticos internos e depois analisar as fronteiras.

Passo 2

Vamos encontrar eventuais pontos críticos no interior de R. Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x = 2(x-2)(y-1),
partial fpartial y = (x-2)^2 + 1

Passo 3

Para ter ponto crítico interno, precisaríamos resolver o sistema partial fpartial x=0 e partial fpartial y=0. Mas (x-2)^2+1=0 não tem solução real. Logo, não há pontos críticos no interior de R.

Passo 4

Agora analisamos as fronteiras de R, que são três segmentos: x=0, y=0 e x+y=4.

Passo 5

Na fronteira x=0, com y em [0,4], temos
f(0,y)=4(y-1)+y=5y-4
Como isso é uma função linear de y, os extremos ocorrem em y=0 e y=4:
f(0,0)=-4, f(0,4)=16

Passo 6

Na fronteira y=0, com x em [0,4], temos
f(x,0)=-(x-2)^2
Esse é um parabola invertida, com valor máximo em x=2 e mínimos nos extremos x=0 ou x=4:
f(2,0)=0, f(0,0)=f(4,0)=-4

Passo 7

Na fronteira x+y=4, escrevemos y=4-x e definimos
g(x)=f(x,4-x)=(x-2)^2(3-x)+4-x

Passo 8

Derivando para ver possíveis extremos internos no segmento:
g'(x)=2(x-2)(3-x)-(x-2)^2-1=-3x^2+14x-17

Passo 9

A equação -3x^2+14x-17=0 não tem raízes reais, então não há extremos internos no segmento. Resta conferir apenas os extremos em x=0 e x=4, que já encontramos acima.

Passo 10

Reunindo todos os valores candidatos:
f(0,0)=-4, f(4,0)=-4, f(2,0)=0, f(0,4)=16

Passo 11

Assim, o valor mínimo é -4 e o valor máximo é 16.

Resposta

Mínimo = -4 e Máximo = 16

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