Encontre os valores máximo e mínimo da função
na região do plano
Passo 1
O exercício busca os extremos (máximo e mínimo) da função f(x,y) na região triangular R dada por x≥0, y≥0 e x+y≤4. O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis em região fechada, e vamos precisar calcular derivadas parciais para achar pontos críticos internos e depois analisar as fronteiras.
Passo 2
Vamos encontrar eventuais pontos críticos no interior de R. Calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Para ter ponto crítico interno, precisaríamos resolver o sistema
e
. Mas
não tem solução real. Logo, não há pontos críticos no interior de R.
Passo 4
Agora analisamos as fronteiras de R, que são três segmentos: x=0, y=0 e x+y=4.
Passo 5
Na fronteira x=0, com y em [0,4], temos
Como isso é uma função linear de y, os extremos ocorrem em y=0 e y=4:
Passo 6
Na fronteira y=0, com x em [0,4], temos
Esse é um parabola invertida, com valor máximo em x=2 e mínimos nos extremos x=0 ou x=4:
Passo 7
Na fronteira x+y=4, escrevemos y=4-x e definimos
Passo 8
Derivando para ver possíveis extremos internos no segmento:
Passo 9
A equação
não tem raízes reais, então não há extremos internos no segmento. Resta conferir apenas os extremos em x=0 e x=4, que já encontramos acima.
Passo 10
Reunindo todos os valores candidatos:
Passo 11
Assim, o valor mínimo é -4 e o valor máximo é 16.
Resposta
Mínimo = -4 e Máximo = 16