Encontre as dimensões de um reservatório de volume 27/2 metros cúbicos, no formado de uma caixa retangular sem tampa, que minimize o custo do material empregado.

Passo 1

Você tem uma caixa retangular aberta (sem tampa) de arestas de comprimentos x, y e altura z, cujo volume fixo é tfrac272 m³. O custo do material é proporcional à área total das faces (base + 4 laterais), então o problema vira minimizar a área de superfície sujeito à restrição de volume.

Passo 2

Definimos as variáveis e escrevemos as fórmulas:
Volume:
xyz = 272
Área (sem tampa):
A = xy + 2xz + 2yz
O objetivo é minimizar A respeitando a restrição de volume.

Passo 3

Da restrição de volume isolamos z:
z = 27/2xy = 272xy
Substituímos em A para obter uma função de duas variáveis:
A(x,y) = xy + 2x272xy + 2y272xy = xy + 27y + 27x

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para encontrar extremos:
partial Apartial x = y - 27x^2 = 0,
partial Apartial y = x - 27y^2 = 0

Passo 5

Das equações acima temos:
y = 27x^2, x = 27y^2
Substituindo uma na outra leva a x^3 = 27, logo x=3. De forma análoga y=3.

Passo 6

Por fim, calculamos a altura z usando a restrição de volume:
z = 27/23cdot3 = 27/29 = 32
É fácil verificar que este ponto é mínimo pela convexidade da função ou analisando o sinal das segundas derivadas.

Resposta

As dimensões que minimizam o custo são: comprimento x=3 m, largura y=3 m e altura z=tfrac32 m.

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