Encontre as dimensões de um reservatório de volume 27/2 metros cúbicos, no formado de uma caixa retangular sem tampa, que minimize o custo do material empregado.
Passo 1
Você tem uma caixa retangular aberta (sem tampa) de arestas de comprimentos
,
e altura
, cujo volume fixo é
m³. O custo do material é proporcional à área total das faces (base + 4 laterais), então o problema vira minimizar a área de superfície sujeito à restrição de volume.
Passo 2
Definimos as variáveis e escrevemos as fórmulas:
Volume:
Volume:
Área (sem tampa):
O objetivo é minimizar
respeitando a restrição de volume.
Passo 3
Da restrição de volume isolamos
:
Substituímos em
para obter uma função de duas variáveis:
Passo 4
Agora calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para encontrar extremos:
Passo 5
Das equações acima temos:
Substituindo uma na outra leva a
, logo
. De forma análoga
.
Passo 6
Por fim, calculamos a altura
usando a restrição de volume:
É fácil verificar que este ponto é mínimo pela convexidade da função ou analisando o sinal das segundas derivadas.
Resposta
As dimensões que minimizam o custo são: comprimento
m, largura
m e altura
m.