Responda à s perguntas, justificando em cada caso.
A soma de dois números racionais é um número racional, ou será que pode ser irracional?
A soma de dois números racionais é um número racional, ou será que pode ser irracional?
Passo 1
O enunciado pergunta se, ao somar dois números racionais, o resultado é sempre racional ou se pode virar um número irracional. O conteúdo examina a propriedade de fechamento do conjunto dos números racionais sob adição e vamos precisar usar a definição de número racional.
Passo 2
Definimos um número racional como um quociente de dois inteiros, isto é, tomemos dois números racionais quaisquer
e
tais que
e
, onde
são inteiros e
e
são diferentes de zero.
Para somar e
, fazemos
Para somar
Passo 3
Como
são inteiros, então
e
também são inteiros, e
. Logo
é um número racional.
Portanto, mostramos que a soma de dois números racionais sempre gera um número da forma , ou seja, permanece racional.
Portanto, mostramos que a soma de dois números racionais sempre gera um número da forma
Resposta
A soma de dois números racionais é sempre um número racional; ela não pode ser irracional.