Classifique os pontos críticos de
(Resposta:
máx.,
mín.,
selas)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^{2} y + \frac{1}{3} y^{3} - x^{2} - y^{2} + 2 $. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, calculamos as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ e igualamos a zero.
Passo 3
Vamos achar $ f_x $, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
Igualando a zero:
Isso nos dá duas possibilidades: $ x = 0 $ ou $ y = 1 $.
Passo 4
Agora, vamos achar $ f_y $, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
Igualando a zero:
Passo 5
Vamos analisar as duas possibilidades encontradas:
-
Quando $ x = 0 $:Então, $ y = 0 $ ou $ y = 2 $, resultando nos pontos críticos $ (0,0) $ e $ (0,2) $.
-
Quando $ y = 1 $:Isso nos dá os pontos críticos $ (1,1) $ e $ (-1,1) $.
Passo 6
Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Para isso, calculamos as segundas derivadas parciais:
O discriminante é dado por:
Passo 7
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico:
-
Ponto $ (0,0) $:Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, temos um máximo local.
-
Ponto $ (0,2) $:Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, temos um mínimo local.
-
Ponto $ (1,1) $ e $ (-1,1) $:Como $ D < 0 $, esses pontos são pontos de sela.
Resposta
Os pontos críticos são classificados como:
- $ (0,0) $ é um máximo local,
- $ (0,2) $ é um mínimo local,
- $ (1,1) $ e $ (-1,1) $ são pontos de sela.