Classifique os pontos críticos de
f(x, y)=x^2 y+13 y^3-x^2-y^2+2
(Resposta: (0,0) máx., (0,2) mín., (1,1),(-1,1) selas)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^{2} y + \frac{1}{3} y^{3} - x^{2} - y^{2} + 2 $. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, calculamos as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ e igualamos a zero.

Passo 3

Vamos achar $ f_x $, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
fx
Igualando a zero:
f
Isso nos dá duas possibilidades: $ x = 0 $ ou $ y = 1 $.

Passo 4

Agora, vamos achar $ f_y $, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
fy
Igualando a zero:
f

Passo 5

Vamos analisar as duas possibilidades encontradas:
  1. Quando $ x = 0 $:
    x = 0
    Então, $ y = 0 $ ou $ y = 2 $, resultando nos pontos críticos $ (0,0) $ e $ (0,2) $.
  2. Quando $ y = 1 $:
    0 + y^2 - 2y = 0 implies y^2 - 2y = 0 implies y(y - 2) = 0
    Isso nos dá os pontos críticos $ (1,1) $ e $ (-1,1) $.

Passo 6

Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Para isso, calculamos as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 2y - 2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 2y - 2
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 2x
O discriminante é dado por:
D = fxxfyy - (fxy)^2

Passo 7

Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico:
  1. Ponto $ (0,0) $:
    D
    (0,0)
    fxx = 2(0) - 2 = -2
    fyy = 2(0) - 2 = -2
    Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, temos um máximo local.
  2. Ponto $ (0,2) $:
    fxy = 2(0) = 0
    D = (-2)(-2) - 0^2 = 4 > 0
    D > 0
    fxx < 0
    Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, temos um mínimo local.
  3. Ponto $ (1,1) $ e $ (-1,1) $:
    (0,2)
    fxx = 2(2) - 2 = 2
    fyy = 2(2) - 2 = 2
    fxy = 2(0) = 0
    Como $ D < 0 $, esses pontos são pontos de sela.

Resposta

Os pontos críticos são classificados como:
  • $ (0,0) $ é um máximo local,
  • $ (0,2) $ é um mínimo local,
  • $ (1,1) $ e $ (-1,1) $ são pontos de sela.

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