(2,5 pontos) Encontre a solução geral do sistema abaixo:
x^prime=(cc -1 & -4 1 & -1 ) x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que foi proposto. A gente tem uma matriz que representa como as variáveis estão se relacionando ao longo do tempo. O conteúdo que vamos usar aqui é de sistemas lineares de equações diferenciais, especificamente resolvendo sistemas com matrizes 2x2. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema. Ela é dada por:
A = -1 & -4 1 & -1
Nossa missão aqui é encontrar os valores próprios ( lambda) dessa matriz. Para isso, usamos a equação característica, que é obtida ao calcular o determinante de A - lambda I igual a zero:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I:
A - lambda I = -1 - lambda & -4 1 & -1 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (-1 - lambda)(-1 - lambda) - (-4)(1)
Simplificando:
det(A - lambda I) = (lambda + 1)^2 + 4 = 0

Passo 4

Vamos resolver a equação característica:
(lambda + 1)^2 + 4 = 0
Subtraindo 4 de ambos os lados:
(lambda + 1)^2 = -4
Tirando a raiz quadrada:
lambda + 1 = pm 2i
Isolando lambda:
lambda = -1 pm 2i
Então, temos dois valores próprios complexos: lambda1 = -1 + 2i e lambda2 = -1 - 2i.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Vamos usar lambda1 = -1 + 2i para começar.
Montamos a equação (A - lambda1 I)v = 0:

$$
-1 - (-1 + 2i) & -4 1 & -1 - (-1 + 2i) v1 v2 = 0 0
-2i & -4 1 & -2i v1 v2 = 0 0

-2i v1 - 4 v2 = 0
$$
Simplificando a matriz:

$$
v1
v1 = -4 v2-2i = 4 v22i = 2 v2i = -2i v2

v2 = 1
$$
Vamos da primeira equação:
v1 = -2i
Isolando v1 = -2i 1 :
Podemos escolher , então . Assim, um vetor próprio é:

Passo 6

Com os valores próprios e os vetores próprios, podemos escrever a solução geral do sistema. Como os valores próprios são complexos, a solução será do tipo:
x(t) = e^alpha t [ C1 cos(beta t) u - C2 sin(beta t) v ]
Onde alpha é a parte real e beta é a parte imaginária dos valores próprios lambda = alpha pm beta i. No nosso caso, alpha = -1 e beta = 2.

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = e^-t [ C1 2 1 cos(2t) + C2 -2 1 sin(2t) ]
Onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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