(2,5 pontos) Encontre a solução geral do sistema abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que foi proposto. A gente tem uma matriz que representa como as variáveis estão se relacionando ao longo do tempo. O conteúdo que vamos usar aqui é de sistemas lineares de equações diferenciais, especificamente resolvendo sistemas com matrizes 2x2. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema. Ela é dada por:
Nossa missão aqui é encontrar os valores próprios (
) dessa matriz. Para isso, usamos a equação característica, que é obtida ao calcular o determinante de
igual a zero:
Onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar a matriz
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Passo 4
Vamos resolver a equação característica:
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Tirando a raiz quadrada:
Isolando
:
Então, temos dois valores próprios complexos:
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Vamos usar
para começar.
Montamos a equação
:
$$
$$
Simplificando a matriz:
$$
$$
Vamos da primeira equação:
Isolando
:
Podemos escolher
, então
. Assim, um vetor próprio é:
Passo 6
Com os valores próprios e os vetores próprios, podemos escrever a solução geral do sistema. Como os valores próprios são complexos, a solução será do tipo:
Onde
é a parte real e
é a parte imaginária dos valores próprios
. No nosso caso,
e
.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.