Seja f uma função definida num intervalo I. Uma primitiva de f em I é uma função F(x) definida em I tal que F^prime(x)=f(x) para todo x em I. Por exemplo, a função F(x)=13 x^3 é uma primitiva de f(x)=x^2. Note também que qualquer função da forma F(x)=13 x^3+C, onde C representa uma constante, também é uma primitiva para f(x)=x^2. A seguir, encontre primitivas para as seguintes funções:
f(x)=sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma primitiva de f(x)=sen(x), ou seja, uma função F(x) definida num intervalo I tal que F′(x)=sen(x). O conteúdo aqui é antiderivadas (ou primitivas) e vamos precisar usar o conhecimento sobre derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Lembramos da regra de derivação: para a função
racddxl[cos xr]= -sin x
Portanto, se considerarmos H(x)=\cos x temos H′(x)=-\sin x. Para inverter esse sinal e obter +sen(x), basta multiplicar por -1, ou seja, analisar G(x)=-\cos x.

Passo 3

Como a derivada de -\cos x é
racddxl[-cos xr]= -l(-sin xr)=sin x,
estamos de fato encontrando uma primitiva de f(x)=sen(x). Assim, a primitiva geral incorpora ainda uma constante C.

Passo 4

A primitiva geral de f(x)=sen(x) é F(x)=-\cos x + C, onde C é uma constante arbitrária.

Resposta

F(x) = -\cos(x) + C

Exercícios relacionados