Seja
uma função definida num intervalo
. Uma primitiva de
em
é uma função
definida em
tal que
para todo
em I. Por exemplo, a função
é uma primitiva de
. Note também que qualquer função da forma
, onde
representa uma constante, também é uma primitiva para
. A seguir, encontre primitivas para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos uma primitiva de f(x)=sen(x), ou seja, uma função F(x) definida num intervalo I tal que F′(x)=sen(x). O conteúdo aqui é antiderivadas (ou primitivas) e vamos precisar usar o conhecimento sobre derivadas de funções trigonométricas.
Passo 2
Lembramos da regra de derivação: para a função
Portanto, se considerarmos H(x)=\cos x temos H′(x)=-\sin x. Para inverter esse sinal e obter +sen(x), basta multiplicar por -1, ou seja, analisar G(x)=-\cos x.
Passo 3
Como a derivada de -\cos x é
estamos de fato encontrando uma primitiva de f(x)=sen(x). Assim, a primitiva geral incorpora ainda uma constante C.
Passo 4
A primitiva geral de f(x)=sen(x) é F(x)=-\cos x + C, onde C é uma constante arbitrária.
Resposta
F(x) = -\cos(x) + C